פולינומי הרמיט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ Removing Link GA template (handled by wikidata) |
הנדב הנכון (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1:
'''פולינומי הרמיט''', על שמו של ה[[מתמטיקאי]] [[שארל הרמיט]], הם [[סדרה]] (אינסופית) של [[פולינום|פולינומים]] [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]] רציפים המשמש בעיקר ב[[פיזיקה]] (פתרון ל[[אוסצילטור הרמוני קוונטי]] ופתרון [[משוואת הגלים]] עבור אלומת [[לייזר]]) וב[[קומבינטוריקה]].
מבחינה מתמטית, הפולינומים
והם מוגדרים באופן הבא:
<math>\ H_n(x)={(-1)^n}{e^{x^2}}{d^n \over dx^n}{e^{-x^2}} </math>
שורה 20:
==תכונות ומאפיינים==
===אורתוגונליות===
קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כ[[אופרטור שטורם-ליוביל]]: <math>\ {d \over dx} [e^{-x^2}{dy \over dx}]={e^{-x^2}}2ny </math>, ולכן על פי [[תורת שטורם ליוביל]] פולינומי הרמיט
<math>\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx}= \delta_{n,m}(x) A_n </math>
כאשר <math>\ A_n </math> נתון על ידי <math>\ A_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n^2(x)e^{-x^2}dx}=\sqrt {\pi} 2^n n! </math>
| |||