פונקציה כוכבית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) יצירת דף עם התוכן "באנליזה מרוכבת, '''פונקציה כוכבית''' (Starlike function) היא פונקציה יוני-ולנטית (כלומר, פונקצ..." |
Corvus-TAU (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''פונקציה כוכבית''' (אנגלית: '''Starlike function''') היא [[פונקציה יוני-ולנטית]] (כלומר, [[פונקציה הולומורפית]] ו[[פונקציה חד חד ערכית|חד חד ערכית]]) ב[[מעגל היחידה|עיגול היחידה]], אשר תמונתה היא [[תחום כוכבי]] ביחס לראשית הצירים. '''פונקציה הולומורפית קמורה''' (Convex function) (להבדיל מהמינוח [[פונקציה קמורה]]), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא [[קבוצה קמורה|תחום קמור]].
לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת ה[[פונקציה יוני-ולנטית|פונקציות היוני-ולנטיות]]. '''משפט אלכסנדר''' נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.
שורה 21:
'''משפט''': הפונקציה היוני-ולנטית <math>f: \overline{D} \to f(\overline{D})</math> היא קמורה [[אם ורק אם]] מתקיים <math>\forall |z|=1: Re( 1+ \frac{z f''(z)}{f'(z)} ) \ge 0</math>.
''משפט'': אם בנוסף <math>f(0)=0</math>, אז הפונקציה היא כוכבית [[אם ורק אם]]
כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית:
שורה 27:
'''משפט אלכסנדר''' (J.W> Alexander,1915): נניח ש-<math>f: D \to f(D)</math> יוני-ולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה <math>zf'(z)</math> כוכבית.
===
נפעיל את המשפט על [[משפט הרבע של קוב|פונקציית קוב]], שהראינו שהיא כוכבית - עבור <math>K(z)=\frac{z}{1-z}</math> מתקיים <math>zK'(z) = \frac{z}{(1-z)^2} = k(z)</math>, ולכן הפונקציה <math>\frac{z}{1-z}</math> קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: <math>K(D) = \{ w : Rew> -\frac{1}{2} \}</math>.
| |||