משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות

תהא <math>\ y^{(n)}+A_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+A_1A_0 y=0</math> משוואה לינארית הומוגנית כאשר כל המקדמים <math>\ A_{n-1},\dots,A_1A_0</math> הם מספרים קבועים. הפתרון <math>\ y=0</math> הוא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]], ואנו רוצים למצוא פתרונות נוספים. מכיוון שכל המקדמים קבועים, יהיה נוח לחפש פתרון שהוא פונקציה שהשינוי היחיד שהיא עוברת במהלך גזירתה הוא כפל בקבוע. זוהי בדיוק פונקציית ה[[אקספוננט]]: <math>\ y=e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\ \lambda </math> הוא קבוע שאנו רוצים למצוא. נשים לב כי <math>\ y^{(k)}=\lambda^k e^{\lambda x}</math>. לכן, לאחר הצבת הפתרון המשוער, נקבל:

:<math>\ \lambda^n e^{\lambda x}+A_{n-1}\lambda^{n-1} e^{\lambda x}+ \dots +A_1A_0\ e^{\lambda x}=0</math>.

:<math>\ \lambda^n +A_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots +A_1A_0\ =0</math>.

זוהי משוואה בנעלם <math>\ \lambda</math> הנקראת '''המשוואה האופיינית''' של המשוואה הדיפרנציאלית שלנו. לא תמיד ניתן למצוא לה פתרונות בצורה מפורשת ([[תורת גלואה]] מוכיחה כי למשוואה ממעלה חמישית ומעלה לא קיים פתרון כללי הנתון על ידי נוסחה), אך קיימות שיטות למציאת פתרונות מקורבים, דוגמת [[שיטת ניוטון-רפסון]]. [[המשפט היסודי של האלגברה]] מבטיח עבור משוואה ממעלה <math>\ n</math> שקיימים לה <math>\ n</math> שורשים (לא בהכרח שונים זה מזה, אך בעלי [[ריבוי (מתמטיקה)|ריבוי]] כולל של <math>\ n</math>).