אינטגרל לבג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 109.67.97.15 (שיחה) לעריכה האחרונה של MathKnight |
הבהרה + מקורות |
||
שורה 1:
'''אינטגרל לבג''' הוא הכללה של [[אינטגרל|אינטגרל רימן]] ל[[פונקציה מדידה|פונקציות מדידות]] שפותחה על ידי המתמטיקאי [[אנרי לבג]] במסגרת מחקרו ב[[תורת המידה]]. אינטגרל לבג מתבסס על [[מידת לבג]] המוגדרת מעל [[שדה המספרים הממשיים|הישר הממשי]]. לכל [[פונקציה]] שהיא '''אינטגרבילית רימן''' (המושג יוגדר להלן) אינטגרל לבג קיים, וערכו זהה לערכו של אינטגרל רימן.
באינטגרל לבג מחושב השטח באמצעות ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של הפונקציה ולא באמצעות התחום שלה. היתרון בגישה זו הוא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה יותר ו"פתולוגית" פחות מתחום ההגדרה של הפונקציה. כלומר, עבור פונקציות שתחום ההגדרה שלהן מסובך והתמונה שלהן פשוטה, ניתן לעתים לחשב את אינטגרל לבג אך לא את אינטגרל רימן, ולעיתים ניתן לחשב את אינטגרל רימן הלא אמיתי אך לא את לבג [[http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/venn.gif]]
== מבוא ==
[[תמונה:Integral as region under curve.png|ממוזער|שמאל|250px|עבור פונקציות חיוביות, האינטגרל הוא השטח הכלוא מתחת לעקומה של הפונקציה.]]
שורה 26 ⟵ 25:
באופן פורמלי, ראשית מקרבים את הפונקציה <math>\ f</math> על ידי סדרה של [[פונקציה פשוטה|פונקציות פשוטות]] (פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של [[פונקציית מדרגה|פונקציות מדרגה]]). הסדרה נבנית כך שהקירוב של <math>\ f</math> הולך ומשתפר. אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה הוא סכום סופי והוא קל לחישוב. האינטגרל של <math>\ f</math> ייקבע כגבול של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות, כאשר הוא קיים. את תהליך הבנייה נפרט להלן.
כלומר, כל פונקציה חסומה ואינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג. למעשה, אינטגרל לבג קיים לכל ה[[פונקציה מדידה|פונקציות המדידות]]. זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן, אך קיימות פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי לבג. לפונקציות אינטגרבילית הן לפי רימן והן לפי לבג ישנו ערך זהה לשני סוגי האינטגרלים. כמו כן, ערכו של אינטגרל לבג זהה לערך אינטגרל רימן גם ברוב המקרים של [[אינטגרל לא אמיתי|אינטגרלים לא אמיתיים]] אך לא בכולם - למשל באינטגרלים שאינם מתכנסים בהחלט כמו אינטגרל דיריכלה [[http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf]]
. [[אינטגרל הנסטוק]] הוא כללי יותר משני סוגי האינטגרלים, וממנו אפשר להסיק גם את אינטגרל רימן וגם את אינטגרל לבג. == בניית אינטגרל לבג ==
| |||