משפט קושי (תורת הטורים) – הבדלי גרסאות

מכיוון שבהתכנסות בהחלט כל איברי הטור חיוביים, הרי שסדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה, ולפיכך מספיק להראות שהיא חסומה כדי להסיק שהיא מתכנסת. נניח כי נתון סכום חלקי כלשהו, אפשר לחסום כל סכום חלקי של טור המכפלה באמצעות מכפלת הסכומים החלקיים <math>(\sum_{i=10}^n a_i) (\sum_{j=10}^n b_j)</math>, כאשר n הוא אינדקס מקסימלי בין כל איבר בסכום החלקי הנתון של המכפלה. ביטוי זה חוסם את הסכום החלקי מכיוון שכל הקומבינציות של המכפלות האפשריות מופיעות בו, והוא כמובן חסום על ידי סכומי הטורים עצמם, ומכאן שזו סדרה מתכנסת.

מהנתון שזו סדרה מתכנסת נובע שכל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, לכן מספיק למצוא תת-סדרה כלשהי שמתכנסת ל-AB. אם מתבוננים בסידור של איברי המכפלה מהצורה הבאה: <math>a_1b_1a_0b_0+(a_1b_2a_0b_1+a_2b_2a_1b_1+a_2b_1a_1b_0)+(a_1b_3a_0b_2+a_2b_3a_1b_2+a_3b_3a_2b_2+a_3b_2a_2b_1+a_3b_1a_2b_0)+...</math>, ולוקחים תת-סדרה מהצורה <math>\sum_{i=10}^n b_i \sum_{ij=10}^n a_ia_j</math>, ניתן להסיק שהגבול ב-n ששואף לאינסוף הוא AB.