חבורה אבלית חופשית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-{{נ}} +) |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) שכתוב |
||
שורה 1:
[[מתמטיקה|במתמטיקה]], '''חבורה אבלית חופשית''' (
==הגדרה==
לדוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים <math>\ S=\{e_1,e_2\}</math> אז איברי החבורה שנוצרת ממנו יהיו <math>g_{n_1,n_2} = n_1e_1 + n_2 e_2</math>. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפית]] ל-<math>\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>.▼
===תכונה אוניברסלית===
את החבורה האבלית החופשית ניתן להגדיר, כמשתמע משמה, בתור החבורה האבלית החופשית ביותר. פורמלית, היא מקיימת את ה[[אוניברסליות (תורת הקטגוריות)|תכונה האוניברסלית]] הבאה: בהינתן קבוצה <math>S</math>, מתאימים לה חבורה אבלית <math>FA(S)</math> ו[[הומומורפיזם]] <math>i:S \to FA(S)</math>, כך שלכל חבורה אבלית אחרת <math>A</math> ולכל העתקה <math>f:S \to A</math>, יש הרחבה יחידה <math>\hat{f}:FA(S) \to A</math>. כלומר, הדיאגרמה הבאה מתחלפת:
[[קובץ:Free Abelian Universal.png|200px|מרכז]]
כלומר, העתקות מתוך החבורה האבלית החופשית מספיק להגדיר על היוצרים, כמו גם בחבורה החופשית.
כל קבוצה <math>\ S</math> יכולה להוות בסיס לחבורה אבלית חופשית. חבורה אבלית חופשית אינה אלא [[מודול חופשי]] מעל [[חוג המספרים השלמים]].▼
מעצם קיומה את התכונה האוניברסלית, נובע כי החבורה החופשית יחידה עד כדי [[איזומורפיזם]], ועל כן מספיק להציג בנייה שלה.
===בנייה מפורשת===
בהינתן קבוצה <math>S</math>, נגדיר <math>FA(S)= \oplus_{S}{\mathbb{Z}}</math>, כלומר [[סכום ישר]] של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] <math>S</math> פעמים. מפורשות, זוהי קבוצת הסדרות <math>(n_i)_{i \in S}</math> בעלות תומך סופי - כלומר, <math>n_i=0</math> פרט למספר סופי של אינדקסים. הפעולה בה היא חיבור סדרות, והנגדי הוא <math>(-n_i)_{i \in S}</math>.
כעת, נראה שהיא מקיימת את התכונה האוניברסלית - השיכון <math>i:S \to FA(S)</math> נתון על ידי <math>s \mapsto \delta_{s,y}</math> ([[הדלתא של קרונקר]]), כלומר אל הסדרה שהיא <math>s</math> במקום ה-<math>s</math> ואפס בכל מקום אחר. בהינתן חבורה <math>A</math> והעתקה <math>f:S \to A</math>, ההרחבה היחידה שלה נתונה על ידי <math>\hat{f}((n_i)_{i \in S})=\sum{n_i f(s_i)}</math>.
בדרך כלל מתייחסים אל איברי החבורה האבלית החופשית <math>FA(S)</math> בתור '''סכומים פורמליים''' באיברי <math>S</math>. כל סדרה <math>(n_i)_{i \in S}</math> מזוהה עo סכום פורמלי סופי <math>\sum{n_i s_i}</math>. כך למשל מגדירים את ההרחבה לעיל על פי - <math>\hat{f}(\sum{n_i s_i}) = \sum{n_i f(s_i)}</math>.
==תכונות==
בהתאם לבנייה, כל חבורה אבלית אחרת <math>A</math> היא [[פונקציה על|תמונה]] של החבורה האבלית החופשית, ולכן לפי [[משפטי האיזומורפיזם|משפט האיזומורפיזם הראשון]] גם [[חבורת מנה|מנה שלה]]. פירוש הדבר הוא, שלכל חבורה אבלית הצגה כמו לחבורה האבלית החופשית המתאימה, יחד עם ה[[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|יחסים]] הנובעים מהמנה.
החבורה האבלית החופשית איננה באופן כללי [[חבורה חופשית]], שכן יש בה [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|יחסים]]; היא החבורה החופשית בתוך ה[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של החבורות האבליות (ואכן מקיימת את אותה התכונה שמקיימת החבורה החופשית בקטגוריית החבורות). זהו מקרה פרטי של בניית [[אובייקט חופשי (תורת הקטגוריות)|אובייקט חופשי]] בקטגוריה נתונה.
החבורה האבלית החופשית היא ה[[אבליניזציה]] של החבורה החופשית; זוהי החבורה החופשית בתוספת יחס החילופיות - כל שני יוצרים שלה מתחלפים. כלומר, זוהי החבורה האבלית הכללית ביותר.
לכל שתי קבוצות מאותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] אותה חבורה חופשית - פירוש הדבר הוא שזוהי החבורה של סכום פורמליים של סמלים, ולא משנה מהם הסמלים.
חבורה אבלית היא חבורה חסרת [[פיתול (אלגברה)|פיתול]], וכל חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול היא חופשית. כאשר החבורות לא נוצרות סופית אין הטענה נכונה; [[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]] <math>(\mathbb{Q},+)</math> הם דוגמא לכך.
כל [[חבורה (מבנה אלגברי)#תת חבורות|תת חבורה]] של חבורה אבלית חופשית אף היא אבלית חופשית. הוכחת משפט זה משתמשת ב[[אקסיומת הבחירה]]. זהו המשפט המקביל בחבורות אבליות ל[[משפט נילסן-שרייר]] בחבורות כלליות. כאשר מדובר בחבורה אבלית חופשית [[חבורה אבלית נוצרת סופית|נוצרת סופית]], [[חבורה אבלית נוצרת סופית#משפט המיון|משפט המיון]] נותן תוצאה מפורשת - לכל בסיס <math>\{e_1,..,e_n \}</math> של החבורה המקורית, קיימים <math>d_1 \mid \dots \mid d_n</math> כך ש-<math>\{d_1 e_1, \dots , d_n e_n \}</math> בסיס לתת החבורה.
▲
==דוגמאות==
החבורה האבלית החופשית הציקלית (והחופשית) היחידה היא <math>\mathbb{Z}</math>.
▲
ב[[טופולוגיה אלגברית]], [[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|חבורת ההומולוגיה]] האפס של [[מרחב טופולוגי]] היא חבורה אבלית חופשית, על קבוצת [[מרחב קשיר מסילתית|מרכיבי הקשירות]] שלו. בשיטה זו אפשר גם לספור את מרכיבי הקשירות המסילתית של מרחבים מסוימים.
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
| |||