מעטפת (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

ב[[גאומטריה]], ה'''מעטפת''' (ב[[אנגלית]]: Envelope) של [[משפחת עקומים|משפחה]] של [[עקומה|עקומים]] במישור היא העקום אשר [[משיק]] לכל עקום במשפחה הזו בנקודה כלשהי. באופן קלאסי, ניתן לחשוב על נקודה על המעטפת כנקודת החיתוך של שני עקומים "סמוכים", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של עקומים סמוכים. המעטפת של משפחת העקומים "תוחמת" את משפחת העקומים, במובן שכל נקודה על כל עקום כלשהו השייך למשפחה נמצאת בתוך האזור התחום על ידי המעטפת. הרעיון הזה יכול להיות מוכלל למעטפת של משטחים במרחב, וכך הלאה לממדים גבוהים יותר.

<math>\frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}=1</math>. אם ננקה את השברים נקבל: :<math>x(1-t)+yt-t(1-t)=t^2+(-x+y-1)t+x=0.\,</math>. כלומר עבור כל נקודה (x,y) יש לכל היותר שני ערכים של t עבורם הישר המתאים עובר דרך הנקודה (x,y), ואינטואיציה גאומטרית עוזרת להבין זאת, כי קיים בוודאות ישר אחד שעובר דרך הנקודה (הישרים מכסים יחדיו את כל האזור התחום על ידי המעטפת) ולאחר מכן ניתן "לנוע" לאורך הישר הנתון באמצעות נקודות החיתוך עם ישרים סמוכים עד שמגיעים לנקודה הנ"ל. אולם, נקודות (x,y) הנמצאות על המעטפת מוגדרות כ[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של נקודות חיתוך של עקומים "סמוכים" ולפיכך לכל נקודה על הגבול יש בדיוק ישר אחד שעובר דרכה. המשמעות היא שלמשוואה הריבועית לעיל יש פתרון יחיד t, ולפיכך המעטפת היא אוסף כל הנקודות (x,y) עבורם ל[[משוואה ריבועית|משוואה הריבועית]]: <1)+xmathmath>t^2 + (-x + y - 1)t + x = 0</math> יש פתרון יחיד. לפיכך משוואת המעטפת היא ה[[דיסקרימיננטה]] של המשוואה הריבועית שווה לאפס::<math>(-x+y-1)^2-4x=(x-y)^2-2(x+y)+1=0.\,</math>.