אלגברה לא אסוציאטיבית – הבדלי גרסאות

'''אלגברה לא אסוציאטיבית''' היא [[מבנה אלגברי]] דומה ל[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]], למעט העובדה שאינו כולל דרישה לאקסיומת [[אסוציאטיביות|האסוציאטיביות]] (תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים, כמובן, גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית"). במלים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] לא אסוציאטיבי <math>\ A</math> שבמרכזו חוג [[חילופיות|קומוטטיבי]] <math>\ C</math>.

 

 

ה'''גרעין''' (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים <math>\ (g,x,y)=(x,g,y)=(x,y,g)=0</math> לכל x,y, כאשר <math>\ (\cdot,\cdot,\cdot)</math> הוא ה[[אסוציאטור]]. זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A. ה'''[[מרכז (אלגברה)|מרכז]]''' מוגדר, כמו במקרה האסוציאטיבי, כאוסף האיברים של הגרעין, המתחלפים עם כל האיברים ב-A. '''אידאל האסוציאטור''' הוא האידאל הנוצר על ידי האיברים <math>\ (x,y,z)</math>, כלומר <math>\ D(A)=A(A,A,A)A</math>. זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מבטיחות שהאידאל שווה ל- <math>\ (A,A,A)+(A,A,A)A=(A,A,A)+A(A,A,A)</math>.

 

באלגברה לא אסוציאטיבית A, פעולת הכפל משמאל באיבר x מגדירה הומומורפיזם של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] <math>\ L_x : A \rightarrow A</math>, על ידי <math>\ L_x(y) = xy</math>. זהו איבר של אלגברת ההומומורפיזמים <math>\ \operatorname{End}(A)</math>, שהיא כמובן אסוציאטיבית. בדרך כלל (למשל, כאשר ל-A יש [[איבר יחידה]]), ההעתקה <math>\ x \mapsto L_x</math> היא חד-חד-ערכית (השומרת כפל בדיוק כאשר A אסוציאטיבית). באופן דומה מוגדרת הפעולה של כפל מימין: <math>\ R_x(y) = yx</math>.

 

 

 

 

את האלגברה של ה[[נגזרת (אלגברה)|נגזרות הפורמליות]] של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור <math>\ D : A \rightarrow A</math> המקיימות את הזהות <math>\ D(ab)=aD(b)+D(a)b</math>, מסמנים ב-<math>\ \operatorname{Der}(A)</math>. זוהי [[אלגברת לי|תת-אלגברת לי]] של <math>\ \operatorname{End}(A)</math>. נגזרת נקראת '''פנימית''', אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות <math>\ L_x, R_x</math>. ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.

 

 

 

* [[אלגברת לי]], [[אלגברת מלצב]]

* [[אלגברה אלטרנטיבית]]

* [[אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית]]

 

[[קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית|*]]