מסילה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספת ותיקון קישורים פנימיים ועריכה מינימלית. |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
ב[[טופולוגיה]], '''מסילה''' היא [[פונקציה]] [[רציפות|רציפה]] מ[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] [[מספר ממשי|ממשי]] כלשהו (לרוב מתייחסים ל[[קטע היחידה]]) ל[[מרחב טופולוגי]]. מסילות מאפשרות ללמוד את המבנה הפנימי של ה[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] המדובר, למשל, על ידי חקירת מרכיבי [[מרחב קשיר מסילתית|קשירות מסילתית]], או על ידי מבנים של מסילות, כדוגמת [[חבורה יסודית|החבורה היסודית]]. מסילות מאפשרות גם לחקור שינוי רציף של מרחב אחד למשנהו, תחום שבו מטפלת תורת ה[[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופיות]]. ב[[פיזיקה]], אפשר לחשב פרמטרים של תנועה לאורך מסילה באמצעות [[אינטגרל קווי|אינטגרלים מסילתיים]], שלהם תפקיד חשוב גם ב[[אנליזה מרוכבת]].
שְמן מגיע מן העובדה, שניתן לחשוב על מסילות אל ה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] כמסלולי טיול רציפים במרחב; אל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] בקטע המקור מתייחסים כמייצגות [[זמן]] והנקודות על [[תמונה (מתמטיקה)|תמונת]] המסילה מייצגות את המיקום במרחב בזמן הנתון. למשל, המסילה: <math>\ \gamma : [0,2\pi]\rightarrow X</math>, המוגדרת לפי
מסילה, שתחומה הוא [[מרחב נורמי]] נקראת '''מסילה דיפרנציאבילית''', אם היא [[פונקציה גזירה ברציפות|גזירה ברציפות]] בכל הקטע; '''מסילה דיפרנציאבילית למקוטעין''' היא מסילה שגזירה ברציפות בכל הקטע, למעט מספר סופי של נקודות.
'''מסילה סגורה''' היא מסילה שנקודות הקצה שלה שוות זו לזו, כלומר: <math>\ \gamma(0)=\gamma(1)</math>. מסילה שאינה "מבקרת" פעמיים באותה נקודה (פרט אולי לנקודות הקצה),
ב[[אנליזה מרוכבת]], יש חשיבות למספר הפעמים שמסילה נתונה ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] מקיפה נקודה שאיננה על המסילה. מספר זה נקרא '''האינדקס''' של המסילה ביחס לנקודה, והוא מוגדר על-פי הנוסחה: <math>\ n(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a}\, dz</math>, המחזירה [[מספר שלם]] עבור כל מסילה דיפרנציאבילית וסגורה. אם המסילה נעה נגד [[כיוון השעון]], האינדקס יהיה [[מספרים חיוביים ושליליים|חיובי]], בעוד שהאינדקס של המסילה ההפוכה: <math>\ t\mapsto \gamma(1-t)</math>, יהיה [[מספרים חיוביים ושליליים|שלילי]].
| |||