חבורות ההומולוגיה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) הפניה לדף הומולוגיה של מרחב טופולוגי |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) פתיחת הערך האמיתי |
||
שורה 1:
'''חבורות ההומולוגיה''' (Homology groups) של [[מרחב טופולוגי]] הן [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] המותאמות למרחב, ומספקות מידע מסוים על המרחב. הן מסומנות <math>H_i(X)</math> לכל <math> i \ge 0</math> שלם. בדומה ל[[חבורות ההומוטופיה]], חבורות ההומולוגיה מודדות שינויים רציפים על מרחבים טופולוגיים. הן נקראות לעתים גם '''חבורות ההומולוגיה הסינגולרית''' (Singular homology).
חבורות ההומולוגיה הן אינווריאנטים הומוטופיים - למרחבים [[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופיים]] (ובפרט [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]]) אותן חבורות ההומולוגיה. אינווריאנט זה איננו שלם - ייתכנו מרחבים לא הומוטופיים עם אותן חבורות ההומולוגיה. בכל זאת, במקרים מסוימים של [[מרחבי CW]] הן מאפיינות את המרחב - ל[[משפט וייטהד]] יש מקבילה הומולוגית, בעזרת [[משפט הורוויץ (טופולוגיה אלגברית)|משפט הורוויץ]].
לחבורות ההומולוגיה שימושים רבים בטופולוגיה כמו גם בתחומים אחרים, כמו [[גאומטריה דיפרנציאלית]], [[אנליזה מתמטית|אנליזה]] ועוד.
==הקדמה==
===תורת הומולגיה===
{{ערך מורחב|תורת ההומולוגיה}}
'''תורת הומולוגיה''' היא אוסף של [[פונקטור|פנקטורים]] <math>\ H_n:\operatorname{Top}_2\rightarrow \operatorname{Ab}</math>. דהיינו, פנקטורים שמתאימים לכל זוג מרחבים טופולוגי <math>(X,A)</math> המקיים <math>A\subseteq X</math> [[חבורה אבלית]] ומקיימות:
# אינווריאנטיות תחת [[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופיה]].
# סדרה מדויקת - קיימות פונקציות <math>\partial_n:H_n(X,A)\rightarrow H_{n-1}(A,\emptyset)</math> המשרות סדרה מדויקת <math> \cdots\rightarrow H_n(A,\emptyset)\longrightarrow H_n(X,\emptyset) \longrightarrow H_n(X,A) \longrightarrow H_{n-1}(A,\emptyset)\rightarrow\cdots</math>
# החבורות המתאימות לנקודה הן <math>H_n(\{p\},\emptyset)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & n\neq 0 \\ \mathbb{Z} & n=0 \end{array}\right.</math>.
# ההעתקות [[פונקטור#העתקה טבעית|טבעיות]] ביחס לפונקציות של זוגות.
# מתקיים [[משפט הקיצוץ]].
===הומולוגיה סינגולרית===
ההומולוגיה סינגולרית אכן מקיימת את כל התנאים לעיל. למרות זאת, בדר"כ מוגדרות ראשית חבורות ההומולוגיה של מרחב <math>H_i(X)=H_(X,\phi)</math> ולא של זוג, ובעזרת המונחים מהומולוגיה של מרחב מגדירים הומולוגיה של זוגית. ההומולוגיה הסינגולרית היא ההומולוגיה המוכרת ביותר, ועל כן חבורות ההומולוגיה הסינגולרית נקראות חבורות '''ה'''הומולוגיה. ההגדרה של הומולוגיה סינגולרית היא כבדה וטכנית ומערבת מושגים רבים מ[[אלגברה הומולוגית]], כולל מרדף דיאגרמות רב.
ההומולוגיה סינגולרית נבנית על סמך [[סימפלקס|סימפלקסים סינוגלריים]]. היישומים של בנייה זו הם הבנת תהליכים גאומטריים רציפים בצורת סימפלקסים על מרחבים טופולוגיים שונים. מבחינה אינטואיטיבית, ההומולוגיה הסינגולרית ה-n-ית מודדת את החללים ה-n ממדיים של המרחב. טכנית, דבר זה נעשה באמצעות השוואת כל הדרכים לקפל סימפלקסים לתוך המרחב. שני קיפולים כאלה נקראים שקולים, או '''הומולוגיים''', אם השפות שלהם משותפות.
היסטורית, המקור להומולוגיה סינגולרית הוא בעבודה של [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]] - שבנה אובייקטים הרבה יותר פשוטים; מאחורי הבניות שלו עומדת האינטואיציה הגאומטרית להומולוגיה הסינגולרית.
==סימפלקס סינגולרי==
{{ערך מורחב|סימפלקס}}
[[File:2D-simplex.svg|שמאל|150px|ממוזער|הסימפלקס הסטנדרטי ה-2-ממדי]]
[[סימפלקס]] הוא מבנה גאומטרי בסיסי. סימפלקס <math>n</math>-ממדי כללי הוא ה[[קמור]] של <math>n</math> נקודות בלתי תלויות אפינית במרחב הממשי <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>.
מגדירים את '''הסימפלקס ה-<math>n</math>-ממדי''', או '''הסימפלקס הסטנדרטי''', להיות הסימפלקס שהוא הקמור של ה[[בסיס (אלגברה)#בסיס סטנדרטי|בסיס הסטנדרטי]] של <math>\mathbb{R}^n</math>. זוהי הצורה הגאומטרית שמחברת את <math>n</math> הנקודות במרחק 1 מראשית הצירים לכיוון כל ציר. הסימפלקס מסומן על ידי <math>\Delta^n</math>. מפורשות - <math>\Delta^n=\{(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=0}^nx_i\leq 1\wedge\forall i,x_i\geq 0\}</math>.
נסמן ב-<math>\ [v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n] </math> את הסימפלקס ה-<math>n-1</math>-ממדי המתקבל מכל הקואורדינטות של הסימפלקס המקורי מלבד הקואורדינטה ה-i. זוהי אחת הדפנות של הסימפלקס המקורי.
'''סימפלקס סינגולרי''' במרחב טופולוגי <math>X</math> הוא העתקה רציפה <math>f:\Delta^n \to X</math>. כלומר, סימפלקס סינגולרי ב-<math>X</math> הוא עיוות של הסימפלקס הסטנדרטי לתוך המרחב.
==הגדרה==
יהי מרחב טופולוגי <math>X</math>.
נגדיר <math>S_n(X):=\{\sigma:\Delta^n\rightarrow X\mid \sigma \mbox{ is continuous}\}</math>.
תהי <math>C_n(X)=\langle S_n(X)\rang</math> [[החבורה האבלית החופשית]] הנוצרת על ידי האוסף הזה. איברי חבורה זו נקראים '''שרשראות''', משום שאלו הם סכומים פורמליים סופיים של סימפלקסים עם משקלים עליהם.
נגדיר לכל n '''פונקציית שפה''' <math>\partial_n:C_n(X)\rightarrow C_{n-1}(X)</math> על ידי <math>\partial_n([\sigma]) = \sum_{i=0}^n(-1)^i[\sigma\mid_{e_0,\ldots,\hat{e_i}\ldots,e_n}]</math>, כלומר נקבל סכום מסומן של דפנות הסימפלקס <math>\ \sigma</math>.
קיבלנו [[קומפלקס שרשרת|קומפלקס שרשראות]] של החבורות הנוצרות
<center>
<math>\ \cdots\rightarrow C_n(X)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} C_{n-1}(X)\stackrel{\partial_{n-1}}{\longrightarrow} C_{n-2}(X)\rightarrow\cdots</math>
</center>
חישוב ישיר מראה שמתקיים התנאי של הקומפלקס, דהיינו: <math>\ \partial_{n-1}\circ\partial_n\equiv 0</math>. כלומר, שפה של שפה היא אפס.
שרשרת ששפתה אפס נקראת '''מחזור''' או '''ציקלוס''', מכיוון שהיא מתאימה לרצף מחזורי של קטעים. לדוגמה, המעגל הוא סימפלקס חד ממדי (דהיינו-קטע) שקופל כך שתמונת הקצוות זהה. שפת קטע היא בדיוק קצותיו, כך שלפי הגדרת השפה אנחנו נקבל את תמונת הקצוות עם מקדם 1 ואז את אותה תמונה עם מקדם (1-), כך שהתמונה תתאפס. למי שרוצה נוסחאות יהי <math>\ \sigma</math> ההעתקה שלנו מקטע היחידה למרחב שיוצרת עיגול, ונניח שתמונת הקצוות היא v ונקבל <math>\ \partial_1(\sigma) = \sigma\mid_1-\sigma\mid_0 = v-v=0</math>
שרשרת שהיא שפה של שרשרת ממימד גבוה יותר נקראת '''שפה'''.
'''חבורת ההומולוגיה הסינגולרית ה-n''' היא [[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ H_n(X) = \ker \partial_n/im\partial_{n+1}</math>, כלומר, מחלקת הומולוגיה היא אוסף של מחזורים שיש להם שפה משותפת. לדוגמה, שני מעגלים שמחוברים, ליצור את הספרה 8 הם הומולוגים.
==הומולוגיה מצומצמת==
לעתים רבות נוח לחשב דווקא את '''חבורות ההומולוגיה המצומצמות''' של מרחב. נשים לב שהסדרה הקודמת מסתיימת כך:
<center>
<math>\dots \to C_1(X) \to C_0(X) \to 0</math>
</center>
כעת, נרצה להוסיף עוד גורם בסוף הסדרה:
<center>
<math>\dots \to C_1(X) \to C_0(X) \overset{\epsilon}{\to} \mathbb{Z} \to 0</math>
</center>
כאשר <math>\epsilon: C_0(X) \to \mathbb{Z}</math> היא ההעתקה <math>\epsilon(\sum{n_i \sigma_i}) = \sum{n_i}</math>. אכן מתקיים <math>\operatorname{Im} (\partial_1) \subseteq \operatorname{ker}(\epsilon)</math> ויש שוויון כאשר <math>X</math> קשיר מסילתית. קומפלקס זה משרה חבורות הומולוגיה, הנקראות '''חבורות ההומולוגיה המצומצמות''' <math>\tilde{H}_n(X)</math>.
מעצם הבנייה, חבורות אלו שוות כמעט כולן לחבורות הרגילות, פרט לחבורה האפס - <math>\tilde{H}_0(X)</math> נבדלת מ-<math>H_0(X)</math> ביוצר אבלי חופשי אחד.
==החבורות הראשונות==
לחבורות ההומוטופיה הראשונות משמעות גאומטרית וטופולוגית אינטואיטיבית.
החבורה האפס <math>H_0(X)</math> סופרת את מספר [[מרחב קשיר#רכיבי קשירות|רכיבי הקשירות]] של המרחב. בעזרת טענה זו ניתן לספור את המרכיבים מלכתחילה; אחד היישומים של שיטה זו הוא הוכחת [[משפט העקומה של ז'ורדן]] באופן קל יחסית.
החבורה הראשונה <math>H_1(X)</math> איזומורפית באופן טבעי ל[[אבליניזציה]] של [[החבורה היסודית]] של המרחב. טענה זו יחד עם טבעיות האיזומורפיזם ניתן ליישם במספר טענות חישוביות.
מקרה מיוחד נוסף הוא החבורה ה-<math>n</math> של [[יריעה טופולוגית]] סגורה <math>n</math>-ממדית שווה ל-<math>\mathbb{Z}</math> אם היריעה [[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטבילית]], ושווה לאפס אחרת.
==מבנה==
חבורות ההומולוגיה הן אינווריאנטים הומוטופיים - כלומר, למרחבים [[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופיים]] אותן חבורות ההומוטופיה. בפרט, החבורות המצומצמות של [[מרחב כוויץ]] כולן אפס. בכל זאת, הן לא מבדילות באופן מלא בין מרחבים טופולוגיים - ישנם מרחבים בעלי אותן החבורות שאינם שקולים הומוטופית, למשל [[טורוס]] <math>T</math> ואיחוד נקודתי <math>S^1\vee S^1 \vee S^2</math>.
לצורך חישוב חבורות ההומולוגיה יש מספר שיטות. המוכרת והבסיסית ביותר היא [[סדרת מאייר-ויאטוריס]], [[סדרה מדויקת]] המקשרת בין החבורות של מרחב לחבורות של [[כיסוי|כיסוי טוב]] שלו, ובכך מקלה על החישוב. השימוש בסדרה מקביל במובן מסוים לשימוש ב[[משפט ואן קמפן]] בעת חישוב החבורה היסודית. שיטה נוספת לחישוב חבורות של מרחבים רבים היא [[סדרת מאייר-ויאטוריס#הומולוגיה של מרחב CW|שיטה]] שפותחה במיוחד לחישוב החבורות של [[מרחבי CW]].
==ההומולוגיה הסינגולרית ביחס לכיסוי==
'''ההומולוגיה הסינגולרית של כיסוי''' של מרחב טופולוגיה, היא הומולוגיה ביחס ל[[כיסוי|כיסוי טוב]] שלו <math>U=\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}</math>. כדי להגדירה, ראשית מגדירים <math>S_n^{U}(X)</math> להיות אוסף הסימפלקסים הסינגולריים שתמונתם מוכלת באחד ה-<math>U_\alpha</math>; כמו כן מגדירים <math>C_n^{U}(X)=FA(S_n^{U}(X))</math>, [[החבורה האבלית החופשית]] מעל <math>S_n^{U}(X)</math>. מהסדרה שלעיל, היות שמתקיים <math>\partial(C_n^{U}(X)) \subseteq C_{n-1}^{U}(X)</math>, מושרה קומפלקס שרשראות:
<center>
<math>\dots \to C_{n+1}^{U}(X) \to C_{n}^{U}(X) \to C_{n-1}^{U}(X) \to \dots</math>
</center>
מקומפלקס שרשראות זה משרה את חבורות ההומולוגיה היחסיות: <math>H_n^{U}(X)</math>.
כעת, משפט חשוב קובע שהעתקת ההכלה <math>i:C_n^{U}(X) \to C_n(X)</math> '''משרה איזומורפיזם''' <math>i_*: H_n^{U}(X) \to H_n(X)</math>, והוא למעשה [[פונקטור#העתקה טבעית|איזומורפיזם טבעי]] ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי.
נראה שלא חידשנו כלום, אך למעשה הרווחנו דיי הרבה - שימוש נפוץ במיוחד בבנייה זו הוא כאשר הכיסוי הוא כיסוי של שתי תתי-קבוצות נחתכות לא טריוויאלית, המוביל לבניית [[סדרת מאייר-ויאטוריס]], סדרה נפוצה במיוחד העוזרת בחישוב חבורות הומולוגיה רבות.
==הומולוגיה יחסית==
כאמור לעיל, תורת הומולוגיה מוגדרת בעזרת התאמת חבורות לזוגות של מרחבים <math>(X,A)</math> כאשר <math>A \subseteq X</math> - אך במקרה של הומולוגיה סינגולרית בדר"כ מגדירים אותן אחרי הגדרת <math>H_n(X)</math>.
כדי להגדיר את חבורות ההומולוגיה היחסיות, נגדיר <math>C_n(X,A) = C_n(X)/C_n(A)</math>. היות שמתקיים <math>\partial (C_n(A)) \subseteq C_{n-1}(A)</math> מושרות העקות <math>\partial : C_n(X,A) \to C_{n-1}(X,A)</math>, והן משרות חבורות הומולוגיה - הנקראת חבורות ההומולוגיה היחסיות, ומסומנות <math>H_n(X,A)</math>. לחבורות אלו אכן מתאימה סדרה מדויקת <math> \dots \to H_n(A) \to H_n(X) \to H_n(X,A) \to H_{n-1}(A) \to \dots</math>. הסדרה המדויקת של חבורות ההומולוגיה היא אכן טבעית ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי.
לאחר הגדרת ההומולוגיה היחסית, ניתן להוכיח את [[משפט הקיצוץ]] - הקובע כי אם <math>K \subseteq A \subseteq X</math> כך ש-<math>\operatorname{cl}(K) \subseteq \operatorname{Int}(A)</math>, אז <math>H_n(X \setminus K, A \setminus K)\cong H_n(X,A)</math>.
==תוצאות של ההומולוגיה הסינגולרית==
*[[משפט נקודת השבת של בראואר]]
*[[משפט שימור התחום]]
*[[משפט הכדור השעיר]]
*[[משפט בורסוק-אולם]]
*[[משפט העקומה של ז'ורדן]]
==ראו גם==
* [[תורת ההומולוגיה]]
* [[אלגברה הומולוגית]]
[[קטגוריה:תורת ההומולוגיה]]
| |||