סדרה מתכנסת – הבדלי גרסאות

'''סדרה מתכנסת''' היא [[סדרה]] שיש לה [[גבול של סדרה|גבול]], כלומר, איבריה הולכים ושואפים למספר כלשהו. הסדרה <math>\ \{a_1,a_2,\dots\}</math> מתכנסת למספר L אם לכל ערך חיובי <math>\ \epsilon</math> יש מספר טבעי N שממנו והלאה מתקיים <math>\ |a_n - L| < \epsilon</math>. סדרה שאינה מתכנסת נקראת '''סדרה מתבדרת'''.את מושג הסדרה המתכנסת אפשר להגדיר לא רק עבור מספרים ממשיים, אלא בכל [[מרחב מטרי]], ואפילו בכל [[מרחב טופולוגי]].

סדרה ממשית אינה יכולה להתכנס ליותר מגבול אחד. את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת אם ורק אם היא [[סדרת קושי]]. שתי התכונות האלה (יחידות הגבול והעובדה שכל סדרת קושי מתכנסת) מלמדות הרבה על [[שדה המספרים הממשיים|מרחב המספרים הממשיים]]. אכן, סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההיפך לא תמיד נכון; מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא [[מרחב מטרי שלם]]. בדומה לזה, הגבול של סדרה מתכנסת במרחב מטרי הוא תמיד יחיד, אבל תכונה זו אינה נכונה בכל מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד הואנקרא '''מרחב-US''' (כל [[מרחב האוסדורף]] הוא '''מרחב-KC'''{{הערה|מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]}}, כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]; אף אחת מהטענות האלה אינה הפיכה).