סדרה מתכנסת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
'''סדרה מתכנסת''' היא [[סדרה]] שיש לה [[גבול של סדרה|גבול]], כלומר, איבריה הולכים ושואפים ל[[מספר]] כלשהו. הסדרה <math>\ \{a_1,a_2,\dots\}</math> מתכנסת למספר L אם לכל ערך חיובי <math>\ \epsilon</math> יש מספר טבעי N שממנו והלאה מתקיים <math>\ |a_n - L| < \epsilon</math>. סדרה שאינה מתכנסת נקראת '''סדרה מתבדרת'''. את מושג הסדרה המתכנסת אפשר להגדיר לא רק עבור מספרים ממשיים, אלא בכל [[מרחב מטרי]], ואפילו בכל [[מרחב טופולוגי]] (ראו [[גבול (טופולוגיה)]]).
== סדרות מתכנסות במרחבים מטריים ==
למושג הסדרה המתכנסת תפקיד מרכזי באנליזה של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. אומרים שסדרה <math>\ \{a_1,a_2,\dots\}</math> של נקודות במרחב מטרי X (עם [[מטריקה]] d) '''מתכנסת''' לנקודה x ('''גבול הסדרה'''), אם לכל ערך חיובי <math>\ \epsilon</math> יש מספר טבעי N שממנו והלאה מתקיים <math>\ d(a_n,x) < \epsilon</math>. במרחב מטרי, לסדרה מתכנסת יש גבול יחיד.
את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת אם ורק אם היא [[סדרת קושי]]. התכונה הזו מלמדת הרבה על [[שדה המספרים הממשיים|מרחב המספרים הממשיים]]. אכן, סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההיפך לא תמיד נכון; מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא [[מרחב מטרי שלם]].
== התכנסות במרחבים טופולוגיים ==
את התנאי <math>\ d(a_n,x) < \epsilon</math> אפשר לנסח קצת אחרת: <math>\ a_n \in B_\epsion(x)</math>, כאשר <math>\ B_r(x)</math> הוא ה[[כדור (טופולוגיה)|כדור]] ברדיוס r סביב x. ניסוח זה מוביל להגדרה הכללית של סדרה מתכנסת ב[[מרחב טופולוגי]] X: אומרים שסדרה <math>\ \{a_1,a_2,\dots\}</math> של נקודות ב-X '''מתכנסת''' לנקודה x ('''גבול הסדרה'''), אם לכל [[סביבה פתוחה]] U של x, יש מספר טבעי N שממנו והלאה מתקיים <math>\ a_n \in U</math>.
מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''. כפי האמור לעיל, כל מרחב מטרי מקיים את התכונה הזו, ובאופן יותר כללי, כל [[מרחב האוסדורף]] הוא מרחב-US. מאידך, כל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. למעשה, תכונת יחידות הגבול מתקיימת במשפחה מעט יותר כללית של מרחבים טופולוגיים: כל '''מרחב-KC'''{{הערה|מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]}} הוא מרחב-US, וכל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC.
בין מרחבים המקיימים את [[אקסיומת המניה הראשונה]], מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.
=== רשתות מתכנסות ===
בסדרה, מותאמת נקודה של המרחב לכל מספר טבעי. ב[[רשת (טופולוגיה)|רשת]], מחליפה את קבוצת המספרים הטבעיים [[קבוצה מכוונת]]. ההגדרה נותרת בעינה: הרשת <math>\ a_{\lambda}</math> '''מתכנסת''' לנקודה x ('''גבול הרשת'''), אם לכל [[סביבה פתוחה]] U של x, יש מקום <math>\ \lambda_0</math> שממנו והלאה (כלומר לכל <math>\ \lambda > \lambda_0</math>) מתקיים <math>\ a_\lambda \in U</math>.
סדרה היא סוג של רשת, והסדרה מתכנסת (כסדרה) אם ורק אם היא מתכנסת כרשת, ולאותן נקודות גבול. לרשתות יתרונות רבים על-פני סדרות. לדוגמא, מרחב טופולוגי מקיים את תכונת האוסדורף אם ורק אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד.
==הערות שוליים==
| |||