טור (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: \1 ב-\2\3\4 |
|||
שורה 19:
טור הנדסי (או טור אקספוננציאלי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של [[סדרה הנדסית]]. למשל, הטור <math>1+2+4+8+16+...+2^{n-1}</math> הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה - 2.
סכום סופי של טור של סדרה הנדסית כלשהי הוא: <math>S_n=a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}</math>,{{ש}}
כאשר <math>q</math> היא מנת הסדרה, <math>a_1</math> הוא האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא <math>n</math>.
שורה 31:
: <math>S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1} = a_1 \cdot (q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1) </math>.
לכן, אם נכפול את שני האגפים ב-<math>q-1</math> (הערה: עבור ה[[מקרה פרטי|מקרה הפרטי]] <math>q=1</math>, בו יתרחש כפל בעייתי ב[[0 (מספר)|אפס]], הסדרה ההנדסית תהיה גם [[סדרה קבועה]] שכל איבריה זהים (כפל ב-1, [[איבר יחידה|איבר היחידה]] בפעולת ה[[כפל]]), ועבורה נוסחת הסכום מאוד פשוטה לחישוב: <math>S_n=n \cdot a_1</math>), נקבל מה[[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]] שהראינו קודם שמתקיים:<math>(q-1)S_n=a_1(q^n-1)</math>, ומכאן: <math>S_n=a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}</math>.
כאשר הסכום הוא אניסופי התוצאה היא :
<math>S_\infty=a_1 \cdot \frac{\overbrace {q^n}^0-1}{q-1} =\frac{a_1}{1-q}</math>
==טורים אינסופיים==
| |||