שארית של טור טיילור – הבדלי גרסאות

a = 0 הוא <math>e^x \approx 1 + x + ... + \frac {x^n} {n!}</math>. לכן מתקיים: <math>R = \frac {(f(x))^{(n+1)}(x)} {(n + 1)!} * (1 - 0)^{n+1}</math> כאשר x בקטע <math>(0,1)</math>. ערכה המירבי של הנגזרת <math>(f(x))^{(n+1)}(x)</math> בקטע (0,1) מתקבל בקצה הקטע, כלומר ב-x = 1 לכן מתקיים:

<math>R < \frac {(f(1))^{(n+1)}(1)} {(n + 1)!} = \frac {e^1} {(n + 1)!} = \frac {e} {(n + 1)!}</math> . כיוון שידוע ש-<math> e < 3 </math> מתקבלת התוצאה: <math>R < \frac {3} {(n + 1)!}</math>.

* נניח כי ברצוננו להעריך את <math>\pi/4 = arctan (1)</math> בהתאם לנוסחת לייבניץ לפאי. מתקיים : <math>arctan (x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ...</math> (כאשר <math>|x|</math> לכל היותר 1). מן הצורה המתמטית של פיתוח טיילור של <math>arctan (x)</math> נובע ש-<math>f(0)^{{(2n+1)}}(0) = (-1)^{(n + 1)} (2n)! </math>, לכן נקבל שהשארית בחישוב <math>arctan (1)</math> היא <math>R <\frac {1}{2n+1}</math>, כלומר הטור מתכנס לאט מאוד (עקב העלייה המהירה בנגזרות של <math>arctan (x)</math>).