ויקיפדיה

תורת הקבוצות הנאיבית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
כלל הערך: קישורים פנימיים ופיסוק.
עיצוב: הפרקה (פירוק (הפרדה) לפרקים), עיצוב ציטוטים, 'הדגשת מסגרת' של הגדרות קבוצות הפרדוקסים, הוספת התבנית "{{להשלים}}" על חלק מהפרקים.
תגית: הוספת תבנית לשינויים בערך
שורה 2:
תורת הקבוצות המודרנית מבוססת על גישה [[אקסיומה|אקסיומטית]] מדוקדקת (ראו [[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]). הטיפול במושג הקבוצה באופן ישיר קרוי "תורת הקבוצות הנאיבית".
 
== תולדות תורת הקבוצות ==
את תורת הקבוצות החל לפתח [[גאורג קנטור]] ב-[[1870]], בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]]. קנטור חקר קבוצות של [[נקודת אי-רציפות|נקודות אי-רציפות]], ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני [[מאמר|מאמרים]], שפורסמו ב-[[1895]] וב-[[1897]] תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - ב[[גרמנית]]), ב[[כתב עת|כתב-העת]] "[[Mathematische Annalen]]". [[הגדרה|הגדרתו]] של קנטור לקבוצה הייתה:
:"בשםאת קבוצהתורת נקראהקבוצות כלהחל צירוףלפתח [[גאורג קנטור]] ב-[[1870]], בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]]. קנטור חקר קבוצות של עצמים[[נקודת מסוימיםאי-רציפות|נקודות ומובדליםאי-רציפות]], המצורפיםואחר-כך לחטיבהקבוצות אחת;כלליות העצמיםיותר. אשראת מקורםמחקריו בהסתכלותסיכם בשני [[מאמר|מאמרים]], שפורסמו ב-[[1895]] וב-[[1897]] תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (בנסיון)במקור או- במחשבהב[[גרמנית]]), נקראיםב[[כתב איבריעת|כתב-העת]] הקבוצה."[[Mathematische Annalen]]". [[הגדרה|הגדרתו]] של קנטור לקבוצה הייתה:{{הערה|שם=פרנקל|תרגומו של [[אברהם הלוי פרנקל]], '''מבוא למתמטיקה''', כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, [[הוצאת מסדה]], 1953, עמ' 5}}
{{ציטוט|"בשם קבוצה נקרא כל צירוף של עצמים מסוימים ומובדלים המצורפים לחטיבה אחת; העצמים אשר מקורם בהסתכלות (בנסיון) או במחשבה, נקראים איברי הקבוצה."}}
 
על הגדרה זו העיר [[אברהם הלוי פרנקל]]: {{הערה|שם=פרנקל}}
{{ציטוט|"יש לראות את הגדרת קנטור כביאור בעלמא. הרבותא שבביאור זה נמצאת בכלליותו, ללא כל הגבלה בהיקף הקבוצה ובמהות איבריה. תקפה זה של הגדרת הקבוצה הוא מקום תורפתה."{{הערה|שם=פרנקל}}
 
בתחילת [[המאה ה-20]] התגלו בתורת הקבוצות [[פרדוקס]]ים, שנבעו מהיותה מתירנית מדימידי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה '''[[תורת הקבוצות האקסיומטית]]''', ובעקבות צעד זה, ההתייחסות לתורתתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת '''תורת הקבוצות הנאיבית'''. תורת הקבוצות הנאיבית עודנהעוֹדֶנָה נלמדת כ[[קורס]] בסיסי ב[[אוניברסיטה|אוניברסיטאות]], שכן היא פשוטה יותר להבנה, ומרבית [[רעיון|רעיונותיה]] נכונים גם בגרסה האקסיומטית.
 
== פרדוקסים ==
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר [[פרדוקס]]ים.
 
=== הפרדוקס של ראסל ===
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר פרדוקסים; ביניהם, למשל, [[הפרדוקס של ראסל]]. קודם להצגת הפרדוקס, נבהיר: בדרך כלל קבוצה אינה איבר של עצמה. איבריה של הקבוצה A, שהגדרתה "קבוצת כל המספרים השלמים" הם [[מספר|מספרים]], ולכן, הקבוצה A, שאינה מספר, אינה אחד מן האיברים של A. יש גם קבוצות שהן איבר של עצמן: למשל, הקבוצה B, שהגדרתה "קבוצת כל הקבוצות שיש להן הגדרה בת תשע מילים". הגדרתה של B היא בת תשע [[מילה (בלשנות)|מילים]], ולכן היא איבר של עצמה. ▼
{{הפניה לערך מורחב|הפרדוקס של ראסל}}
▲הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר פרדוקסים; ביניהם, למשל, [[הפרדוקס של ראסל]]. קודם להצגת הפרדוקס, נבהיר: בדרך כלל, קבוצה אינה איבר של עצמה. {{ש}}איבריה של הקבוצה A, שהגדרתה "קבוצת כל המספרים השלמים" הם [[מספר|מספרים]], ולכן, הקבוצה A, שאינה מספר, אינה אחד מן האיברים של A. יש גם קבוצות שהן איבר של עצמן: למשל, הקבוצה B, שהגדרתה "קבוצת כל הקבוצות שיש להן הגדרה בת תשע מילים". הגדרתה של B היא בת תשע [[מילה (בלשנות)|מילים]], ולכן היא איבר של עצמה.
 
הפרדוקס עוסק בקבוצה D המוגדרת להלן:
:'''{{קוד|{{מימין לשמאל|הקבוצה D היא קבוצה, שנכללת בה (כאיבר) כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה.'''}}}}▼
 
▲:'''הקבוצה D היא קבוצה, שנכללת בה (כאיבר) כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה.'''
 
כלומר, לכל קבוצה X,‏ X היא איבר ב-D [[אם ורק אם]] הקבוצה X אינה איבר ב-X. לגבי הדוגמאות שהבאנו לעיל מתקיים: A היא איבר ב-D, ואילו B אינה איבר ב-D.
שורה 21 ⟵ 25:
נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה D היא איבר ב-D? אם כן, אז בהתאם להגדרתה של D היא אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, הקבוצה D היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות ל[[סתירה (לוגיקה)|סתירה]] פנימית, בכך שהוכחנו [[טענה]] והיפוכה מאותה מערכת [[לוגיקה|לוגית]].
 
=== הפרדוקס של קנטור ===
בעקבות סתירה זו, ובעיות נוספות, שביניהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס ל[[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] שלה ([[הפרדוקס של קנטור]]) ו[[הפרדוקס של בורלי-פורטי]], וכן בעקבות הצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". ה[[אקסיומטיזציה]] של [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] ([[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות, כדי להימנע מהסתירות האפשריות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמלי]].▼
{{הפניה לערך מורחב|הפרדוקס של קנטור}}
{{להשלים}}
הפרדוקס של קנטור עוסק בהגדרת {{קוד|‏"קבוצת כל הקבוצות" ו[[קבוצת החזקה]] שלה}} ועל ההשלכות הסותרות על "מספר האיברים" (ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]) של כל קבוצה.
 
=== הפרדוקס של בורלי-פורטי ===
{{הפניה לערך מורחב|הפרדוקס של בורלי-פורטי}}
{{להשלים}}
הפרדוקס של בורלי-פורטי עוסק ב{{קוד|{{מימין לשמאל|"הגדרת קבוצה (של [[מספר סודר]]ים)"}}}}, אשר אינה יכולה להיות קבוצה (בתורת הקבוצות (הנאיבית)).
 
== תורת הקבוצות האקסיומטית ==
▲בעקבות סתירההסתירות זוהללו, ובעיות נוספות, שביניהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס ל[[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] שלה ([[הפרדוקס של קנטור]]) ו[[הפרדוקס של בורלי-פורטי]]שהתגלו, וכן בעקבותנוצר הצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי. בעבקבות כך, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". ה[[אקסיומטיזציה]] של [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] ([[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות, כדי להימנע מהסתירות האפשריות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמלי]].
 
==לקריאה נוספת==
שורה 30 ⟵ 45:
 
{{תורת הקבוצות}}
 
 
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/תורת_הקבוצות_הנאיבית"