אקסיומה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 7:
==אקסיומות במתמטיקה==
כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תורה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות:
*[[עקביות (לוגיקה)|עקביות]]: לא ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות דבר והיפוכו.
*מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות
קיום מודל של מערכת האקסיומות מוכיח שהיא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]]. בדומה לזה, קיום מודל לכל האקסיומות פרט לאחת שדווקא אינה מתקיימת, מראה שאותה אקסיומה אינה ניתנת להשמטה; אם יש מודל כזה עבור כל אחת מהאקסיומות, הרי שהמערכת מינימלית.
דרישה סבירה נוספת היא דרישת ה[[שלמות]], כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. [[משפטי האי-שלמות של גדל]] מוכיח שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות.
|