חבורת מנה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מארק ברלין (שיחה | תרומות) מ מעט תוספות עפ"י האנגלית |
|||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''חבורת מנה''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] שאיבריה הם [[מחלקה (תורת החבורות)|מחלקות]] (קו-סטים) של חבורה נתונה אחרת.
==הגדרה פורמלית==
שורה 5:
:<math>\ \{ aN : a \isin G \}</math>
ניתן להוכיח כי אוסף זה מהווה חבורה בפני עצמו, כשפעולת הכפל מוגדרת כך: <math>\ aN\cdot bN=\left(a\cdot b\right)N </math>. יש להעיר שפעולת הכפל הזו מוגדרת היטב אך ורק כאשר <math>\ N </math> היא תת חבורה נורמלית. אוסף המחלקות עם הפעולה שהוגדרה עליהם יסומן <math>\ G/N </math> וייקרא "חבורת המנה של <math>\ G </math> מודולו <math>\ N </math>".
===דוגמה===▼
▲==דוגמה==
נביט ב<math>\ \left(\mathbb{Z},+\right) </math>, חבורת המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור, ובתת החבורה שלה <math>\ \left(2\mathbb{Z},+\right) </math>, חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור.
שורה 17 ⟵ 15:
ל<math>\ 2\mathbb{Z} </math> שתי מחלקות: <math>\ \left\{2n|n\isin\mathbb{Z}\right\} </math> ו<math>\ \left\{2n+1|n\isin\mathbb{Z}\right\} </math>. לכן, <math>\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_2 </math>, כלומר חבורת המנה [[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|איזומורפית]] לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם).
==תכונות==
אם תת-החבורה הנורמלית שאנחנו לוקחים בתור ה"מחלק" ביצירת חבורת המנה היא תת-החבורה הטריוויאלית, מקבלים, ש-: <math>\ G/G \cong {e}; G/{e} = G </math>.
סדר חבורת המנה G/N הוא ה[[אינדקס]] של N בתוך G; כאשר G,N סופיות, מספר זה שווה ל-
<math>/ \frac{|G|}{|N|} </math> - מנת הסדרים של G,N.
{{קצרמר מתמטיקה}}
| |||