שדה סדור – הבדלי גרסאות

שדה סדור הוא [[שדה סדור ארכימדי|ארכימדי]] אם היחס בין כל שני אברים חיוביים קטן מאיזשהו מספר שלם. כל שדה סדור ארכימדי ניתן לשיכון ב[[שדה המספרים הממשיים]]. לכל שדה סדור F, <math>\ \{a\in F \,|\, \exists n \in \mathbb{N}: a<n\}</math> הוא תת-חוג מקומי של F, שהתמונה שלו היא שדה ארכימדי.

 

כל שדה סדור F מוכל בשלושה שדות <math>\ F \subseteq F_{pyth} \subseteq F_{e} \subseteq \bar{F}</math>, שכולם [[הרחבה אלגברית|אלגבריים]] מעל F, והם מקיימים את התכונות הבאות: <math>\ \bar{F}</math> סגור ממשית (שלא כמו בניית ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]], בניה זו אינה זקוקה ל[[הלמה של צורן|למה של צורן]]); <math>\ F_{e}</math> הוא שדה אוקלידי, שאפשר לקבל כשרשרת של הרחבות, שבכל אחת מהן מוסיפים לשדה הקודם את כל השורשים של איברים חיוביים; ואילו <math>\ F_{pyth}</math> הוא שדה פיתגורי, המתקבל כחיתוך של כל תת-השדות הפיתגוריים של <math>\ \bar{F}</math> המכילים את F.