הרחבת שדות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסרת תו כיווניות |
AutoIKhitron (שיחה | תרומות) clean up באמצעות AWB |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה]] ובעיקר ב[[תורת השדות]], '''הרחבה של שדות''' מתארת מצב שבו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] אחד [[תת קבוצה
לאמירה שהשדה הקטן הוא '''תת שדה''' של השדה הגדול יש אותה משמעות; מתייחסים להכלה <math>\ F \subseteq K</math> של שדות כאל '''הרחבה''' כאשר הדגש הוא על האופן שבו נבנה השדה הגדול <math>\,K</math> מן השדה הקטן <math>\,F</math>, וכאל '''תת שדה''' במקרה ההפוך, שבו רוצים להבדיל את אברי <math>\,F</math> משאר האברים של <math>\,K</math>. זוהי הבחנה מתודית בלבד, ואין לה משמעות מתמטית.
את ההרחבה <math>\ F \subseteq K</math> מסמנים לפעמים בסימון <math>\ K/F</math>.
שורה 33:
הרחבה <math>\ K/F</math> היא '''הרחבה פשוטה''' אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. הרחבות כאלה אפשר ללמוד באופן הבא, שמדגים את ההבדל בין הרחבות אלגבריות לשאינן כאלה.
נניח ש-<math>\ K=F(a)</math>, כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את <math>\,F</math> ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר [[הומומורפיזם של חוגים|הומומורפיזם]] מחוג הפולינומים <math>\ F[\lambda]</math> לשדה K, על ידי הצבה: <math>\ f(\lambda)\mapsto f(a)</math>. תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא [[תחום שלמות]]. מכאן נובע שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של ההומומורפיזם הוא [[אידאל ראשוני]]. יש שתי אפשרויות: ייתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במלים אחרות, a [[
הרחבה ממימד סופי K/F היא פשוטה אם ורק אם יש לה מספר סופי של הרחבות ביניים (תת-שדות <math>\ F \subset L \subset K</math>){{הערה|1=N.Jacobson, Lectures in Abstract Algebra III, Thm. I.15}}.
שורה 41:
שדה-הרחבה K הוא תמיד [[מרחב וקטורי]] מעל שדה הבסיס, כאשר פעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל בשדה הגדול (מצומצמת מפעולה <math>\ K\times K\rightarrow K</math> לפעולה <math>\ F\times K\rightarrow K</math>). בפרט, יש להרחבה [[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] <math>\ [K:F] = \dim_F K</math>, שהוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות שימושית: אם <math>\ F\subseteq K \subseteq E</math>, אז <math>\ [E:K][K:F]=[E:F]</math>.
איבר a של K הוא [[איבר אלגברי]] אם קיים פולינום בעל מקדמים ב-<math>\,F</math>, אשר a הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] שלו. אם כל האיברים של K הם אלגבריים, אומרים שההרחבה היא '''הרחבה אלגברית'''. כל הרחבה אלגברית נוצרת סופית היא בעלת ממד סופי, וכל הרחבה בעלת ממד סופי היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית. לעומת זאת, קיימות הרחבות אלגבריות שאינן נוצרות סופית, כמו זו של [[שדה המספרים הניתנים לבניה]] מעל הרציונליים, או של ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] של [[שדה סופי]], מעל השדה.
אם <math>\ S \sub K</math> היא תת-קבוצה כלשהי, הסימון <math>\ F[S]</math> מתאר את תת-החוג הקטן ביותר של K המכיל את F ואת S (בהשוואה ל- <math>\ F(S)</math>, שהוא תת-השדה הקטן ביותר; כמובן <math>\ F[S]\subseteq F(S)</math>). אם כל האיברים של הקבוצה S אלגבריים, אז <math>\ F[S]</math> הוא שדה, ובמקרה זה <math>\ F(S)=F[S]</math>.
=== פירוק למרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי ===
אוסף האברים האלגבריים ב-K מהווה תת-שדה שלו, הנקרא '''הסגור האלגברי היחסי של <math>\,F</math> ב-K'''. בהרחבה אלגברית, כמו <math>\ K=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}</math>, הסגור הזה הוא K. אם אין ב- K אף איבר אלגברי פרט לאברי <math>\,F</math>, (כלומר, <math>\,F</math> הוא הסגור האלגברי היחסי), אומרים ש-<math>\,F</math> '''סגור אלגברית''' בהרחבה. (אין פירושו של דבר ש-<math>\,F</math> הוא [[שדה סגור אלגברית]], אלא רק שבמובן מסוים, החיתוך של K עם ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] של <math>\,F</math> שווה ל-<math>\,F</math>). מקרה חשוב במיוחד של יחס זה בין השדות הוא '''הרחבה טרנסצנדנטית''' טהורה, שהיא הרחבה בה קיימת קבוצת יוצרים שאבריה אינם מקיימים אף יחס (כלומר, לא קיים פולינום בכמה משתנים, שאם מציבים בו יוצרים שונים מתקבל אפס).
כל הרחבה אפשר לפרק לשרשרת של הרחבות <math>\ F\subseteq F_1 \subseteq K</math>, כאשר <math>\ F\sub F_1</math> היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, ואילו <math>\ F_1 \subseteq K</math> אלגברית (Steinitz ,1948); אם ההרחבה המקורית נוצרת סופית, להרחבה האחרונה יהיה ממד סופי. למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי של <math>\ F_1/F</math> קוראים '''דרגת הטרנסצנדנטיות''' של ההרחבה <math>\ K/F</math>. הפירוק אפשרי רק בסדר זה: בדרך כלל אי-אפשר לפרק הרחבות כך שקודם יבוא המרכיב האלגברי, ואז המרכיב הטרנסצנדנטי. אם ההרחבה <math>\ F \subseteq K</math> אלגברית, אז הפירוק יהיה <math>\ F=F_1\subseteq K</math>, שהרי K אינו מכיל אף איבר טרנסצנדנטי מעל <math>\,F</math>.
שורה 59:
=== פירוק למרכיב ספרבילי ומרכיב לא ספרבילי טהור ===
אוסף האברים הספרביליים מהווה תת-שדה של K, הנקרא '''הסגור הספרבילי של <math>\,F</math> ב-K''' (ומוכל כמובן בסגור האלגברי היחסי). אם כל האברים של K (פרט לאלו של <math>\,F</math>) אינם ספרביליים מעל <math>\,F</math>, אז ההרחבה היא '''[[הרחבה לא ספרבילית טהורה]]'''.
בהמשך הסעיף נניח שהשדות ממאפיין p ראשוני. אוסף חזקות-p בשדה K מהווה תת-שדה שלו, אותו מסמנים ב- <math>\ K^p</math>. באופן זה אפשר ליצור שרשרת יורדת של שדות, <math>\ ...\subseteq K^{p^2}\subseteq K^p\subseteq K</math>, שאת חיתוכה מסמנים ב- <math>\ K^{p^{\infty}}</math>. אם הממד <math>\ K/F</math> סופי, הסדרה חייבת כמובן להתייצב. ההרחבה <math>\ K/K^{p^n}</math> היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.
ההרחבה <math>\ K/F</math> היא ספרבילית אם ורק אם <math>\ K=K^{p}</math>. מכיוון שהשדה <math>\ K^{p^{\infty}}</math> מקיים תכונה זו, ההרחבה <math>\ K^{p^\infty}/F</math> מוכרחה להיות ספרבילית. כך הוכחנו שכל הרחבה אלגברית אפשר לפרק לשרשרת של שתי הרחבות, הראשונה ספרבילית והשנייה לא ספרבילית טהורה.
שורה 77:
* [[שדה פיצול]]
* [[אלגברה (מבנה אלגברי)]]
* [[
== לקריאה נוספת ==
| |||