מטריצה – הבדלי גרסאות

הוסרו 97 בתים ,  לפני 5 שנים
אין תקציר עריכה
מ (שוחזר מעריכות של Gilgamesh (שיחה) לעריכה האחרונה של קובץ על יד)
==מטריצה כייצוג של [[העתקה לינארית]]==
 
אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות לינאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים [[בסיס (אלגברה)|בסיסים]] סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה לינארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה לינארית יחידה. התאמה חשובה זו היא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]] בין מרחב ההעתקות הלינאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.
 
כדי לתאר העתקה לינארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעבירה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הלינאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל וקטור, כפי שנדגים מיד.
 
===ההתאמה בין ההעתקות למטריצות===
 
ה[[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]] בין העתקות למטריצות המייצגות אותן הוא שימושי מאוד:
 
* נניח כי <math>\,T,S</math> הן העתקות לינאריות <math> \ T,S : V \rightarrow W </math>, וכן נתונים <math> \ B </math> בסיס ל-<math> \ V</math>, ו-<math> \ C</math> בסיס ל-<math> \ W</math>, אזי <math> \ [T+S]^B_C = [T]^B_C + [S]^B_C </math>, במילים - המטריצה המייצגת את סכום ההעתקות <math>\,T</math> ו-<math>\,S</math> היא המטריצה המתקבלת מסכימת המטריצות המייצגות את <math>\,T</math> ו-<math>\,S</math>.
 
* <math> \ [cT]^B_C=c[T]^B_C </math>, ובמילים - המטריצה המייצגת את כפל ההעתקה <math>\,T</math> בסקלר היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצה המייצגת את <math>\,T</math> באותו סקלר.
 
* נניח כי <math>\ T,S</math> הן העתקות לינאריות <math>\ S : V \rightarrow W </math>, <math>\ T : W \rightarrow U </math>, וכן נתונים <math>\ B </math> בסיס ל-<math>\ V</math>, <math> \ C</math> בסיס ל-<math>\ W</math>, ו-<math> \ D</math> בסיס ל-<math> \ U</math>, אזי <math> \ [T \circ S]^B_D = [T]^C_D \cdot [S]^B_C </math>, כאשר ב-<math>\ [T \circ S]^B_D</math> הכוונה היא ל[[הרכבת פונקציות|הרכבת ההעתקות]], וב-<math>\ [T]^C_D \cdot [S]^B_C</math> הכוונה היא ל[[כפל מטריצות]]. במילים - המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות <math>\,T</math> ו-<math>\,S</math> היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצות המתאימות ל-<math>\,T</math> ו-<math>\,S</math>. למעשה, זו הסיבה ש[[כפל מטריצות]], שאינו נעשה בדרך אינטואיטיבית, הוגדר כך. מכאן מובן גם מדוע כפל מטריצות מוגדר רק אם מספר השורות של המטריצה הימנית שווה למספר העמודות של המטריצה השמאלית.
 
* למטריצה יש אותם [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]], [[פולינום אופייני]], [[פולינום מינימלי]] [[דרגה (אלגברה לינארית)|ודרגה]] כמו להעתקה שהיא מייצגת.
 
 
==מרחבי שורות, עמודות ופתרונות==
 
מרחב השורות של מטריצה <math>\ A</math> בגודל <math>\ m\times n</math> הוא המרחב ה[[קבוצה פורשת|נפרש]] על ידי וקטורי שורותיה (<math>\ m</math> וקטורים ב-<math>\ F^n</math>), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (<math>\ n</math> וקטורים ב- <math>\ F^m</math>).
 
 
==מבנה אלגברי==
 
אוסף כל המטריצות מסדר <math> \ m \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> המסומן <math>\operatorname{ Hom }(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)</math> מהווה מרחב וקטורי מממד <math>\ n\cdot m</math>. מקרה חשוב במיוחד הוא אוסף כל המטריצות הריבועיות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה זו מסומנת <math>\operatorname {M_n} (\mathbb{F})</math> ומהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] לא קומוטטיבי עם יחידה, שלו מספר תת-חוגים מעניינים. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> המסומן
<math>\operatorname {GL_n} (\mathbb{F})</math> (General linear group)
 
==מטריצה משוחלפת==
 
{{ערך מורחב|מטריצה משוחלפת}}
 
'''מטריצה משוחלפת''' (Transposed Matrix) היא מטריצה שהתקבלה ממטריצה אחרת על ידי הפיכת כל שורה לעמודה ('''שחלוף''').
 
''';הגדרה פורמלית'''
תהא <math>\!\, A</math> מטריצה מסדר <math>\!\, n\times m</math>. המטריצה המשוחלפת שלה, שתסומן <math>\!\, A^t</math> (מקובלים גם הסימונים ''A''<sup>tr</sup> , <sup>t</sup>''A'' , ''A''<sup>T</sup> או &prime;''A'') ,
 
היא מטריצה מסדר <math>\!\, m\times n</math> שמוגדרת כך: <math>\!\, (A^t)_{ij}=(A)_{ji}</math>, עבור כל <math>\!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n</math>.
 
;דוגמאות:
:<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
 
==מטריצה ריבועית==
 
{{ערך מורחב|מטריצה ריבועית}}
 
 
==שפות תכנות==
 
ב[[שפת תכנות|שפות תכנות]] מיוצגת מטריצה באמצעות [[מערך (מבנה נתונים)|מערך]] דו-ממדי. חבילות תוכנה לתכנות מדעי כוללות גם [[פונקציה (תכנות)|פונקציות]] לפעולות על מטריצות, כגון שחלוף וכפל.
 
== ראו גם ==
 
* [[חיבור (מטריצות)|חיבור מטריצות]]
* [[שיטת הלכסון של גאוס]]
 
{{אלגברה לינארית}}
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
[[קטגוריה:מטריצות|*]]