המשפט הקטן של פרמה – הבדלי גרסאות

ניתן להוכיח את המשפט באמצעות פתרון השאלה הבאה (זהו ניסוח אלמנטרי של ההוכחה הקודמת): צובעים את הצלעות של [[מצולע משוכלל]] עם p צלעות, כל צלע באחד מ-a צבעים נתונים. כמה מצולעים אפשר ליצור, השונים זה מזה גם לאחר סיבוב? תשובה: אם הצביעה מכילה יותר מצבע אחד, אז כל סיבוב של המצולע מביא אותו לצורה שונה משום ש-p ראשוני. המקרה היחיד שבו הסיבוב אינו משפיע הוא כאשר כל הצלעות צבועות באותו הצבע. מספר האפשרויות לצבוע את המצולע הוא <math>\ a^p</math>, מתוכן a צביעות בצבע אחד, והשאר, <math>\ a^p-a</math>, בשני צבעים שונים לפחות. כל צביעה כזו מופיעה בדיוק p פעמים, ולכן מספר המצולעים השונים הוא <math>\ {a^p-a \over p} +a</math>. זהו מספר שלם, ולכן <math>\ a^p\equiv a \pmod{p}</math>. (חישוב זה הוא מקרה פרטי של [[הלמה של ברנסייד]], עבור ה[[פעולת חבורה על קבוצה|פעולה]] של [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית מסדר p]] על אוסף הצביעות)...