ויקיפדיה

חוג (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏הגדרה: תיקון - הניסוח הקודם היה לא נכון
עריכה
שורה 3:
[[תורת החוגים]], העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים ב[[אלגברה]].
 
== הגדרה , הדגמה ומבנים יסודיים ==
הדוגמה המוכרת ביותר של חוג היא קבוצת כל [[מספר שלם|המספרים השלמים]], המסומנת כ- '''Z''':
 
'''חוג''' הוא מבנה הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ R</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] {{הערה|פרושהמסומנות הדבר"+" כי שתי הפעולות מוגדרות על איברים בקבוצה R ומניבים תוצאה שהיא גם איבר בו-R }} המסומנות כחיבור וכפל"*", המקיימות מספר אקסיומות המכונות "אקסיומות החוג":▼
<div class="mw-content-ltr">.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.</div>
# R היא [[חבורה אבלית]] ביחס לחיבור, כלומר: החיבור [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבי]] ו[[קומוטטיביות|קומוטטיבי]], יש איבר אפס, ולכל איבר יש נגדי;
# R הוא [[מונויד]] ביחס לכפל, כלומר: הכפל אסוציאטיבי ויש לו איבר יחידה;
# מתקייםהכפל [[חוק הפילוג|דיסטריבוטיבי]] ביחס לחיבור (כלומר <math>\ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z</math> וכן <math>(x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</math>).▼
 
אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, [[חוג המספרים השלמים]] חילופי, אך חוג ה[[מטריצה|מטריצות]] אינו חילופי. ▼
התכונות המוכרות עבור חיבור וחיסור משמשות כמודל עבור האקסיומות של החוג.
 
===הגדרה===
▲'''חוג''' הוא מבנה הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ R</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] {{הערה|פרוש הדבר כי שתי הפעולות מוגדרות על איברים בקבוצה R ומניבים תוצאה שהיא גם איבר ב-R }} המסומנות כחיבור וכפל, המקיימות מספר אקסיומות המכונות "אקסיומות החוג":
 
# שתי הפעולות [[קיבוציות]] (אסוציאטיביות) - לדוגמה עבור חיבור (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') לכל שלושה איברים ''a'', ''b'', ''c'' בקבוצה ''R''
# פעולת החיבור [[חילופיות|חילופית]] (קומוטטיבית) - ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' לכל האיברים ''a'', ''b'' בקבוצה ''R''
# קיים איבר יחידה ביחס לכפל (''ראו הסתייגות בסעיף הבא'')
# קיים איבר יחידה ביחס לחיבור - איבר 0 בקבוצה, כך שעבור כל איבר ''a'' בקבוצה ''R'' מתקיים ''a + 0 = 0 + a ='' ''a''
# קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור
▲# מתקיים [[חוק הפילוג]] (כלומר <math>\ x\cdot (y+z) = x\cdot y+x\cdot z</math> וכן <math>(x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</math>)
 
▲אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, [[חוג המספרים השלמים]] חילופי, אך חוג ה[[מטריצה|מטריצות]] אינו חילופי.
 
=== קיום איבר יחידה ===
מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של [[איבר יחידה]], נקרא "חוג בלי יחידה". לעתים, הטרמינולוגיהמשתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים <math>\ ex = x</math> לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.
 
הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת [[1914]] על ידי [[אברהם הלוי פרנקל]],{{הערה|Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.}} בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], האסכולה האמריקאית של [[אלייקים הייסטינגס מור|א.ה. מור]], ובעיקר עבודתו תחת [[קורט הנזל]] על [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]{{הערה|[[ליאו קורי]], [http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rml/1081878062 The Origins of the definition of abstract rings]}}. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("[[חוג קלאסי]]"), וכך שלכל שני אברים a,b יש איברים רגולריים u,v כך ש-ab=bau=vba. ב-1921 פרסמה [[אמי נתר]] מאמר פורץ דרך,{{הערה|Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.}} ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד ל[[שנות ה-60]] הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כ[[אמיל ארטין]], [[מייקל עטייה]] ו[[איאן מקדונלד]], [[ניקולא בורבקי]] ו[[סרז' לאנג]], שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/חוג_(מבנה_אלגברי)"