מונואיד (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

הסרת האקסיומה על קיום הפכיים גורמת לכך שהמבנה של מונואידים הרבה יותר מסועף מזה של חבורות. לשם המחשה, ישנם 2237 מונואידים שונים בעלי ששה אברים (ורק שתי חבורות מסדר זה). באמצע הדרך בין המונואידים הכלליים לבין החבורות עומדים מונואידים עם צמצום: כאלה שבהם מ- ax=ay נובע x=y (זהו "צמצום משמאל"), ומ- xa=ya נובע x=y (צמצום מימין). לדוגמה, כל מונואיד המוכל בחבורה מקיים את תכונת הצמצום.

השיכון ההדוק ביותר הוא ב"חבורת שברים", היינו כזו שכל איבר שלה הוא מהצורה <math>\ a^{-1}b</math>, כאשר a,b שייכים למונואיד; שיכון כזה קיים אם ורק אם המונואיד מקיים את [[תנאי אור]] (Ore's condition): לכל a,b יש איברים x,y כך ש- xa=yb. מונואיד עם צמצום המקיים איזושהי זהות (כגון <math>\ x_1x_2x_2x_1x_2x_2=x_2x_2x_1x_2x_2x_1</math>, ובפרט: כל מונואיד קומוטטיבי עם צמצום), או שיש לו [[גידול (אלגברה)|גידול]] תת-אקספוננציאלי, מקיים את תנאי אור.

באופן כללי, השאלה האם מונואיד עם צמצום הנתון לפי [[חבורה מוצגת סופית|הצגה סופית]] שלו ניתן לשיכון בחבורה, אינה [[כריעות|כריעה]]. עבור מונואידים סופיים התשובה תמיד חיובית (די להניח צמצום משמאל. '''הוכחה''': יהי <math>\ M</math> מונואיד כזה. לכל <math>\ a\in M</math>, הפונקציה <math>\ f:M\rightarrow M</math> המוגדרת על ידי <math>\ f(x)=ax</math> היא פונקציה הפיכה (לפי הצמצום), ולפי ה[[קבוצה סופית|סופיות]] היא מוכרחה להיות על. בפרט קיים איבר <math>\ b\in M</math> כך ש- <math>\ ab=f(b)=1</math>, ובמלים אחרות כל איבר a הוא הפיך מימין. בפרט, האיבר b המקיים <math>\ ab=1</math> הפיך מימין, אבל השוויון מראה שהוא גם הפיך משמאל. כאיבר הפיך מימין ומשמאל הוא הפיך, ו- a הוא ההפכי שלו. לכן גם a הפיך, ו- M הוא חבורה). ב-1960 נתן Adian קריטריון קומבינטורי על ההצגה, המבטיח שיכון כזה (אבל אינו הכרחי).

מאידך, יש מונואידים עם צמצום (מימין ומשמאל) שאינם ניתנים לשיכון בתוך חבורה (אפילו כזו שאינה חבורת שברים){{הערה|1=לדוגמה המפורסמת של Mal'cev, ראו למשל T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, משפט 9.8.}}. מלצב נתן סדרה אינסופית של תנאים שמונויד המקיים אותם משוכן בחבורה, והראה שתת-קבוצה סופית של התנאים האלה אינה מספיקה.