זווית היפרבולית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:Q1003216 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{{להשלים|כל הערך = כן}}
[[קובץ:Cartesian hyperbolic triangle.svg|שמאל|250px|ממוזער|הזווית ההיפרבולית u היא מספר ממשי שהוא הארגומנט של [[פונקציות היפרבוליות|הפונקציות ההיפרבוליות]] sinh ו-cosh. היא מגדירה גזרה היפרבולית שיש לה שטח u.]]
ב[[מתמטיקה]], '''זווית היפרבולית''' היא פרמטר שמאפיין גזרות של [[היפרבולה]]
זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב- (0, 0) בין הקרן ל- (1, 1) לקרן ל- (x, 1/x) כאשר x > 1; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי <math>\ 2 \arctanh\left(\frac{x-x^{-1}}{x+x^{-1}}\right)</math>. הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר x בין 0 ל-1.
נניח ש-''ab'' = 1 ו-''cd'' = 1 כאשר ''c'' > ''a'' > 1, כך שהנקודות (''a'', ''b'') ו- (''c'', ''d'') מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה ''xy'' = 1.
▲נניח ש-''ab'' = 1 ו-''cd'' = 1 כאשר ''c'' > ''a'' > 1, כך שהנקודות (''a'', ''b'') ו- (''c'', ''d'') מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה ''xy'' = 1. העתקת squeeze משמרת שטח עם אלמנטים מטריציוניים אלכסוניים a ו-b (כלומר עם פרמטר a) ממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין (1, 1) ל-(''bc'', ''ad''). חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות (1, 1) ו-(''bc'', ''ad''). לפי תוצאה של [[גרגואיר דה סנט וינסנט]], לשטח זה תכונות לוגריתמיות.
ה[[פונקציות היפרבוליות|פונקציות ההיפרבוליות]] sinh, cosh ו-tanh נעזרות בזווית ההיפרבולית כמשתנה הבלתי תלוי שלהן, ומכיוון שהערכים שלהן ניתנים לחישוב באופן אנלוגי ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] המעגליות. לכן המושג של "זווית היפרבולית" הוא שימושי ביותר בבעיות של [[חשבון אינפיניטסימלי]] במשתנה [[מספר ממשי|ממשי]]; המושג מקנה אינטואיציה כיצד להתיר בעיות בנושא.
שורה 22 ⟵ 20:
זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני [[מיתר (גאומטריה)|מיתר]]ים ''P''<sub>0</sub>''P''<sub>1</sub> ו-''P''<sub>0</sub>''P''<sub>2</sub> מתאימות זוויות ''L''<sub>1</sub> ו-''L''<sub>2</sub> במרכז המעגל, אז הסכום שלהן ''L''<sub>1</sub> + ''L''<sub>2</sub> הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר ''P''<sub>0</sub>''Q'' שמקביל ל-''P''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub>.
אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה. אם ''P''<sub>0</sub> נלקחת כנקודה (1, 1), ''P''<sub>1</sub> כנקודה (''x''<sub>1</sub>, 1/''x''<sub>1</sub>) ו-''P''<sub>2</sub> כנקודה (''x''<sub>2</sub>, 1/''x''<sub>2</sub>), אז באמצעות חישוב [[שיפוע]]ים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב ש-''Q'' תהא הנקודה (''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>, 1/''x''<sub>1</sub>1/''x''<sub>2</sub>). נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות שמתאימות לנקודות ''P''<sub>1</sub> ו-''P''<sub>2</sub> היא, לפי הזהות <math> \ln (x_1) + \ln (x_2) = \ln (x_1x_2) </math>, הנקודה (''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>, 1/''x''<sub>1</sub>1/''x''<sub>2</sub>) .
== היסטוריה ==
שורה 37 ⟵ 35:
* אם נציב tanh a = v/c בטרנספורמציית לורנץ למעבר בין מערכות ייחוס נקבל:
<math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right) = \gamma t = \frac {{1}}{{\sqrt {{1 - (\tanh(a))^2}}}}*1 = cosh(a) = t'</math> (במעבר האחרון השתמשנו ב-x = 0, t = 1).
* הנוסחה לחיבור מהירות יחסותי היא תוצאה ישירה של האדיטיביות של הזווית ההיפרבולית ושל הזהות לטנגנס ההיפרבולי של סכום זוויות:
שורה 48 ⟵ 46:
הזווית ההיפרבולית מוצגת לעתים כאילו היא הייתה [[מספר מדומה]]; אם x הוא מספר ממשי ו-''i''<sup>2</sup> = −1 אז:
<math> \cos(i x) = \cosh(x)</math>
כך שהפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות. הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של [[טור אינסופי|טורים אינסופיים]]. הטור המייצג את [[אקספוננט|הפונקציה האקספוננציאלית]] (<math> e^x = \cosh x + \sinh x\! </math> ) מורכב מאיברים עם חזקות זוגיות ואי זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי (<math>\textstyle\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>) וטור החזקות האי זוגיות מרכיב את פונקציית הסינוס ההיפרבולי (<math>\textstyle\sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>). הטור האינסופי לקוסינוס נגזר מהטור האינסופי לקוסינוס היפרבולי באמצעות הפיכתו ל[[טור אינסופי|טור מתחלף]]. בדרך דומה מתקבל גם הטור ל-sin מהטור ל-sinh, אלא שהפעם החזקות האי זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור i.
| |||