פונקציות היפרבוליות – הבדלי גרסאות

סקריפט החלפות (,, ]]), הוספת נקודה בסוף משפט
(ויקישיתוף בשורה)
(סקריפט החלפות (,, ]]), הוספת נקודה בסוף משפט)
:<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_n x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi </math>
 
:<math>\operatorname {sech} x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>
 
:<math>\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi </math>
 
כאשר:
 
:<math>\ B_n</math>, הוא [[מספר ברנולי]] ה-n־י
:<math>\ E_n</math>, הוא [[מספרי אוילר|מספר אוילר]] ה-n־י.
 
==קשרים לפונקציות טריגונומטריות==
 
==הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות==
[[קובץ:Area_tangens.png|ממוזער|200px|שמאל|Arctanhx ]]
פונקציות אלו נקראות ארק (דוגמה: ארק סינוס היפרבולי היא ה[[פונקציה הפוכה|פונקציה ההפוכה]] לסינוס היפרבולי).
:<math>\operatorname{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})</math>
ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:
 
:<math>\operatorname{arcsinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
</math>
 
:<math>\operatorname{arccosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1
</math>
 
:<math>\operatorname{arctanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1 </math>
 
:<math>\operatorname{arccsch} (x) = \operatorname{arcsinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1 </math>
 
:<math>\operatorname{arcsech} (x) = \operatorname{arccosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1 </math>
 
:<math>\operatorname{arccoth} (x) = \operatorname{arctanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 </math>
 
==פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים==