שקילות מוריטה – הבדלי גרסאות

שתי [[קטגוריה (תורת הקטגוריות)|קטגוריות]] <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> נקראות '''שקולות''' אם קיימת ביניהן [[שקילות קטגורית]], כלומר קיימים [[פונקטור|פונקטורים]]ים <math>F:\mathfrak{A} \to \mathfrak{B}</math> ו- <math>G:\mathfrak{B} \to \mathfrak{A}</math> כך ש-<math>F \circ G</math> ו-<math>G \circ F</math> איזומורפיות באופן טבעי אל העתקות הזהות, כלומר קיימות [[פונקטור#העתקה טבעית|העתקות טבעיות]] <math>G \circ F \to I_\mathfrak{A}</math> ו-<math>F \circ G \to I_\mathfrak{B}</math>.

היות שעצם ההגדרה היא בשקילות קטגורית, כל תכונה שניתן להגדיר אך ורק בתוך הקטגוריה של המודולים הימניים (כלומר אך ורק על ידי אובייקטים ומורפיזמים , וללא התייחסות מפורשת אל חוג הבסיס) תעבור מחוג אל חוג השקול אליו מוריטה. כך למשל, [[מודול אינג'קטיבי|אינג'קטיביות]], [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיביות]], [[חוג פשוט למחצה|פשיטות למחצה]], [[חוג ארטיני|ארטיניות]], [[חוג נתרי|נתריות]], [[נוצר סופית]] (אך לא מספר היוצרים), כולן נשמרות.

לכל מודול פרו-יוצר ניתן להגדיר morita context (ראו בלקריאה נוספת לפרטים מלאים). קיומו של morita context משרה שקילות מוריטה בין החוג <math>R</math> אל החוג <math>S = \operatorname{End}_R(P)</math>. גם ההפך נכון - כל חוג <math>S</math> השקול מוריטה ל- <math>R</math> הוא חוג אנדומורפיזמים מעל <math>R</math>-מודול ימני פרו-יוצר כלשהו - כלומר, ניתן לבנות morita context בהינתן שקילות קטגורית בין המודולים הימניים. הרכבה של שקלויות קטגוריות מתאימה באופן מלא אל [[מכפלה טנזורית]] של המודולים הפרו-יוצרים המתאימים.

כלל הביטול (cancellation law) בקטגוריה של מודולים <math>\mathfrak{A}</math> הוא הדרישה שלכל <math>P \in \mathfrak{A}</math> יתקיים שאם <math>P^n \cong P^{n'}</math> אז <math>n=n'</math>.