מטריצה חיובית – הבדלי גרסאות

ב[[אלגברה לינארית]], [[מטריצה]] ממשית [[מטריצה סימטרית#מטריצה הרמיטית|סימטרית]] A היא '''מטריצה אי שלילית מוגדרתחיובית''' (positive semidefinite) אם ה[[תבנית ריבועית|תבנית הריבועית]] <math>\ q(x)=x^TAx</math> היא אי שליליתחיובית, כלומר אם <math>\ q(x)\geq 0</math> לכל וקטור (ממשי) <math>\,x</math>. המטריצה A היא '''חיובית מוגדרתלחלוטין''' (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין: <math>\ q(x)>0</math> לכל <math>\ x\neq 0</math> (זו כמובן תכונה חזקה יותר).

התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות [[מספר מרוכב|מרוכבות]], היא תכונת ה[[מטריצה הרמיטית|הרמיטיות]]. מטריצה הרמיטית מרוכבת היא אי שלילית מוגדרתחיובית אם לכל וקטור (מרוכב) x מתקיים <math>\ x^*Ax\geq 0</math>, וחיובית מוגדרתלחלוטין אם לכל וקטור <math>\ x\neq 0</math> מתקיים <math>\ x^*Ax>0</math>. תנאים אלה שקולים לכך שכל ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של המטריצה יהיו ממשיים ואי שלילייםוחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות כאלהחיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] חיוביים. לדוגמה, מטריצה <math>\ A=(a)</math> בגודל <math>\ 1\times 1</math> היא הרמיטית רק כאשר <math>\,a</math> ממשי. המטריצה אי שלילית מוגדרתחיובית אם <math>\ a\geq 0</math>, וחיובית מוגדרתלחלוטין אם <math>\ a>0</math>.

אוסף המטריצות האי-שליליות מוגדרותהחיוביות סגור לחיבור וכפל, ולכפל בסקלר חיובי. כך גם אוסף המטריצות החיוביות מוגדרותלחלוטין. בנוסף לזה, מטריצה אי שלילית מוגדרתחיובית היא חיובית מוגדרתלחלוטין אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר אם ורק אם היא [[מטריצה הפיכה|הפיכה]]. לבסוף, ההפכית של מטריצה חיובית מוגדרתלחלוטין גם היא חיובית מוגדרתלחלוטין. שני האוספים סגורים גם להצמדה.

כאמור, מטריצה הרמיטית M היא אי שלילית מוגדרתחיובית אם לכל <math>\ z\isin \mathbb{C}^n</math> מתקיים <math>\ z^*Mz\geq 0</math>. על ידי הפרדת הווקטור z לרכיב ממשי ורכיב מדומה אפשר לראות שמספיק לבדוק תכונהאת תכונת זוהחיוביות לוקטורים ממשיים <math>\ z\isin \mathbb{R}^n</math>.

אם <math>\ M,N</math> חיוביות מוגדרתלחלוטין אז <math>\ M\circ N</math> ([[מכפלת הדמר]]) חיובית מוגדרתלחלוטין.