משפטי האי-שלמות של גדל – הבדלי גרסאות

{{מפנה|משפט האיאי-שלמותהשלמות|משפט מתחום מדעי המחשב|משפט האיאי-שלמותהשלמות של צ'ייטין}}

'''משפטי האיאי-שלמותהשלמות של [[קורט גדל]]''' הם צמד [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] יסודיים ב[[לוגיקה מתמטית]], הענף החוקר את יסודות ה[[לוגיקה]] בכלים [[מתמטיקה|מתמטיים]].

המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, [[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי האי־שלמותאי־השלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים{{הערה|1=[http://www.gadial.net/2009/05/03/godel_incompleteness_yes/ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?] לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'}}.

'''משפט האיאי-שלמותהשלמות הראשון של גדל''', שהפך לאבן פינה ב[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]], הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות [[אלגוריתם]] טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענה דומה מאוד ל[[פרדוקס השקרן]] (פרדוקס שבו אדם מסוים אומר "אני עכשיו משקר"), אך שונה ממנה, שכן לא נטען בה שהיא איננה נכונה. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי".

ב'''משפט האיאי-שלמותהשלמות השני''' הוכיח גדל כי [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] עקבית שהנה מספיק חזקה לקיים את [[אקסיומות פיאנו]] (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומות של תורת הקבוצות (ZF)]] לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).

ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט האי-שלמותאי־השלמות למעשה ייתר את [[תוכנית הילברט]] ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית [[יסודות המתמטיקה]] שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.

טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף [[מחשב]] תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו [[מדעי המחשב]] ו[[מכונת טיורינג]]), כיוון שעל פי [[תזת צ'רץ'-טיורינג]] כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם ([[מכונת טיורינג]]) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי [[רוג'ר פנרוז]] התבסס על משפטי האי-שלמותאי־השלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי ה[[אינטליגנציה]] האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות ב[[מוח]]. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות ה[[ריגורוזיות]] המתמטית.

ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט האי-שלמותאי־השלמות משמש את חסידי [[העידן החדש]] על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתים קרובות יחד עם [[מכניקת הקוונטים]] בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. תרומתו של המשפט ל[[פוסטמודרניזם]] עמדה בניגוד מוחלט לגדל, שהיה [[פלטוניזם|פלטוניסט]].

בספרו [[שלוש מהפכות קופרניקניות]] הציג ה[[פרופסור]] [[זאב בכלר]] את משפטי האי-שלמותאי־השלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.

* [[משפט האי-שלמות של צ'ייטין|משפט אי־השלמות של צ'ייטין]]

* [[משפט הרקורסיה]] - משמשת בחלק מההוכחות למשפטי האי-שלמותאי־השלמות של גדל.

* [[משפט האי-גדירות של טרסקי|משפט אי-הגדירות של טרסקי]]

* [[רבקה גולדסטיין]], '''ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי-שלמותאי־השלמות של קורט גדל''', 2006