אלגברה לא אסוציאטיבית – הבדלי גרסאות

באלגברה לא אסוציאטיבית A, פעולת הכפל משמאל באיבר x מגדירה הומומורפיזם של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] <math>\ L_x : A \rightarrow A</math>, על ידי <math>\ L_x(y) = xy</math>. זהו איבר של אלגברת ההומומורפיזמים <math>\ \operatorname{End}(A)</math>, שהיא כמובן אסוציאטיבית. בדרך כלל (למשל, כאשר ל-A יש [[איבר יחידה]]), ההעתקה <math>\ x \mapsto L_x</math> היא חד-חד-ערכית (השומרת כפל בדיוק כאשר A אסוציאטיבית). באופן דומה מוגדרת הפעולה של כפל מימין: <math>\ R_x(y) = yx</math>.

את האקסיומות המגדירות מחלקות שונות של אלגבראות לא-אסוציאטיביות אפשר לנסח, בדרך-כלל, בשפה של הפעולות מימין ומשמאל. לדוגמה, A אסוציאטיבית אם ורק אם <math>\ L_xR_y = R_yL_x</math> לכל x,y. אלגבראות אלטרנטיביות מוגדרות לפי האקסיומות <math>\ L_x^2 = L_{x^2}</math> ו- <math>\ R_x^2 = R_{x^2}</math>, בעוד שאלגבראות ז'ורדן הן אלו המקיימות <math>\ R_x=L_x</math> (היינו, קומוטטיביות), ו- <math>\ [L_x,R_{x^2}]=0</math> (כאשר <math>\ [\cdot,\cdot]</math> הוא ה[[קומוטטור]] של אופרטורים).

הזהות <math>\ L_x R_x = R_x L_x</math> (כלומר, <math>\ x(yx)=(xy)x</math> לכל x ו-y) נקראת [[זהות הגמישות]], והיא מתקיימת ברוב המחלקות החשובות של אלגבראות לא-אסוציאטיביות, לרבות אלגבראות לי, ז'ורדן, ואלגבראות אלטרנטיביות.

מכיוון שתורת המבנה של אלגבראות אסוציאטיביות מפותחת יותר, ככלל, מזו של אלגבראות לא אסוציאטיביות, יש ערך למבנים אסוציאטיביים שאפשר לשייך לאלגברה לא אסוציאטיבית. הדוגמה החשובה ביותר למבנה כזה הוא '''אלגברת הפעולות''' (או '''אלגברת המכפלה'''), הנוצרת (כתת-אלגברה אסוציאטיבית של <math>\ \operatorname{End}(A)</math>) על ידי פעולות הכפל מימין ומשמאל. אלגברה זו ודאי פועלת על <math>A</math>; יתרה מזאת, כל אידאל סגור תחת פעולה זו. המרכז של אלגברה זו בתוך אלגברת האנדומורפיזמים מוגדר בתור ה-centroid של <math>A</math>; כאשר לאלגברה יש יחידה, ההעתקה <math>x \mapsto L_x</math> מהמרכז ל-centroid הנה איזומורפיזם.

אלגברת הפעולות היא נילפוטנטית אם ורק אם A כזו. אם A [[חוג פשוט|אלגברה פשוטה]] או [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], גם אלגברת הפעולות כזו, והכיוון ההפוך נכון בכל האלגבראות האלטרנטיביות.