משפט קיילי-המילטון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שייך (בדוחק) לפולינום מינימלי |
Yotamsvoray (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מ[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג קומוטטיבי|קומוטטיבי]] כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות <math>\ \operatorname{M}_n(C)</math> הם [[חוג עם זהויות|חוגי זהויות פולינומיות]].
==הוכחת המשפט==
ישנן הרבה הוכחות למשפט קיילי המילטון, כאן מוצגת אחת מהן.
נסמן <math>f(x) =\Sigma_{k=0}^{n} C_{k} x^k</math>. ראשית ידוע כי לכל מטריצה <math>\ A</math> מתקיים כי <math> \qquad A\, \mathrm{adj}(A) = \mathrm{adj}(A)\, A = \det(A)\, I</math>, ולכן מתקיים כי עבור <math> C = x I - A</math> מתקיים כי <math> f(x)I = |x I - A|I=|C|I=C\mathrm{adj}(C)=(xI-A)\mathrm{adj}(C)=xI\mathrm{adj}(C)-A\mathrm{adj}(A)</math> ומכיוון שאיברי המטריצה <math>C</math> הם [[פולינום|פולינומים]] ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי <math>\mathrm{adj}(C) </math> פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-<math>n-1</math>. לכן ניתן לכתוב את <math> \mathrm{adj}(C)</math> כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, <math>\mathrm{adj}(C)=\Sigma_{k=0}^{n} B_{k} x^k </math>. מכיוון ש-<math> f(x)I =xI\mathrm{adj}(C)-A\mathrm{adj}(A)</math> אז מתקיים כי <math> f(x)I =\Sigma_{k=1}^{n} C_{k} Ix^k </math> ו-
<math>\mathrm{adj}(C)-A\mathrm{adj}(A)=\Sigma_{k=1}^n B_{k-1}-AB_k</math> ולכן על ידי השוות מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי <math>C_k I=B_{k-1}-A B_k</math> אז אם נכפול ב-A נקבל כי <math>C_k A^k =A^k B_{k-1}- A^{k-1}B_k</math> ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל [[טור טלסקופי]] שמתאפס.
== מקורות ==
| |||