עוצמה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

הגדרת העוצמה כמחלקת שקילות של קבוצות בעלות אותו מספר אברים (כפי שהוגדרה להלן), היא בעייתית במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], -משום בהגדרהשבהגדרה הזו כל עוצמה היא [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] ולא [[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]]{{הערה|זוהי ההגדרה שאימצו ראסל ווייטהד ב[[פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)|פרינקיפיה מתמטיקה]], ובגללה נדחקה ההוכחה המפורסמת שלהם לטענה 1+1=2 עד למשפט 54.43*. הם מראים שאם a,b "שייכות ל-1", כלומר הן קבוצות בנות אבר יחיד, והן זרות, אז האיחוד שלהן
"שייך ל-2".}}. לכן, תחת ההגדרה הנאיבית, לא ניתן לדבר על קבוצות של עוצמות ומושגים דומים במסגרת ה[[שפה מסדר ראשון]] של [[ZFC]]. ניתן להתגבר על הבעיה הזו באופן כללי על ידי שימוש ב"טריק" של [[דנה סקוט]], באמצעות שימוש ב[[אקסיומת היסוד]] - נגדיר את העוצמה של הקבוצה X להיות אוסף כל הקבוצות בעלות [[דרגה (תורת הקבוצות)|דרגה]] מינימלית שיש פונקציה חח"ע ועל ביניהן לבין X. ניתן להראות כי אוסף זה הוא אכן קבוצה.