חוק קירי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←עבור ספין חצי: מגיע מהאנרגיה לפי פונקציית החלוקה |
מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-<div style="text-align: *center;">[ \n]*<math>(.+?)</math>[ \n]*</div> +<math display="block">\1</math>) |
||
שורה 1:
'''חוק קירי''' (ב[[אנגלית]]: '''Curie's law''') הוא [[חוק פיזיקלי]] המקשר בין [[מגנטיזציה]] של [[חומר]] [[פאראמגנטיות|פאראמגנטי]] לבין [[שדה מגנטי|השדה המגנטי]] המופעל עליו וה[[טמפרטורה]]. ה[[נוסחה]] המתארת את החוק היא:
<math display="block">\mathbf{M} = C \frac{\mathbf{H}}{T}</math>▼
▲<math>\mathbf{M} = C \frac{\mathbf{H}}{T}</math>
כאשר:
שורה 25 ⟵ 23:
ניתן לקבל את חוק קירי מתוך המודל הבא של [[פאראמגנט]]. במודל זה מתייחסים לחומר כמורכב מחלקיקים בעלי [[מומנט מגנטי]] <math>\vec{\mu}</math>. החלקיקים קבועים במקום ואין ביניהם אינטראקציה. בהנחות אלו ה[[אנרגיה]] של המומנט המגנטי בתוך השדה נתונה על ידי
<math display="block">E=-\vec{\mu}\cdot\vec{H}</math>▼
▲<math>E=-\vec{\mu}\cdot\vec{H}</math>
===עבור ספין חצי ===
במקרה פשוט של מומנט מגנטי בעל שני מצבים אפשריים ([[ספין]] 1/2) המומנט המגנטי יכול בכיוון השדה המגנטי או בכיוון המנוגד לשדה בלבד. האנרגיות של מצבים אלו הינם
שורה 36 ⟵ 32:
[[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] של החלקיק במקרה זה תהיה:
<math display="block">Z = \sum_{n=0,1} e^{- \beta E_n} = e^{ \beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2 \cosh\left( \beta\mu H\right)</math>▼
▲<math>Z = \sum_{n=0,1} e^{- \beta E_n} = e^{ \beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2 \cosh\left( \beta\mu H\right)</math>
כאשר <math> \beta = \frac {1}{k_B T}</math> ו-<math> k_B </math> הוא [[קבוע בולצמן]]. את המומנט המגנטי הממוצע (=המגנטיזציה הממוצעת לחלקיק) ניתן למצוא באופן ישיר על ידי:
שורה 46 ⟵ 40:
</div>
או על ידי [[נגזרת|גזירה]] של פונקציית החלוקה:
<math display="block">\left\langle\mu\right\rangle = {1 \over H } \frac{\partial}{\partial \beta} \log Z. </math>▼
▲<math>\left\langle\mu\right\rangle = {1 \over H } \frac{\partial}{\partial \beta} \log Z. </math>
התוצאה המתקבלת בכל אחת מדרכים אלו היא <math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\beta\mu H\right)</math>
שורה 54 ⟵ 46:
זו המגנטיזציה של ספין יחיד. כדי לקבל את המגנטיזציה של כל החומר יש להכפיל במספר החלקיקים <math> N </math>. באופן זה מקבלים:
<math display="block">M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu H\over k_B T}\right)</math>▼
▲<math>M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu H\over k_B T}\right)</math>
חוק קירי מתקבל מכאן בגבול של שדה מגנטי חלש וטמפטרטורה גבוהה, כלומר במקרה בו מתקיים <math> \frac{\mu H}{k_B T} \ll 1 </math>. בגבול זה ניתן לקרב את ה-tanh לסדר ראשון ולקבל:
<math display="block">\mathbf{M}={N\mu^2\over k_B}{\mathbf{H}\over T}</math>▼
▲<math>\mathbf{M}={N\mu^2\over k_B}{\mathbf{H}\over T}</math>
וזה בדיוק חוק קירי, עם הקבוע <math> C = \frac{N\mu^2}{k_B} </math>.
שורה 68 ⟵ 56:
===עבור ספין כללי===
עבור מקרה של ספין J כללי קיימים יותר משני מצבים. חישוב דומה נותן:
<math display="block">\ M = N g \mu_B J B_J(x)</math>▼
▲<math>\ M = N g \mu_B J B_J(x)</math>
כאשר g הוא [[מקדם לנדה]], <math> \mu_B </math> הוא [[מגנטון בוהר]], <math>\ x = \frac{g \mu_B JH}{k_B T}</math>
שורה 80 ⟵ 66:
גם כאן בגבול של טמפרטורות גבוהה ושדה חלש ניתן לקרב ולקבל:
<math display="block">\ M = \frac{NJ(J+1)g^2\mu_B^2 H}{3k_B T}</math>▼
▲<math>\ M = \frac{NJ(J+1)g^2\mu_B^2 H}{3k_B T}</math>
ושוב קיבלנו את חוק קירי (עם קבוע שונה במקצת).
שורה 88 ⟵ 72:
מומנט מגנטי קלאסי יכול להסתובב באופן חופשי. במקרה זה האנרגיה של כל חלקיק תהיה:
<math display="block">E = - \mu H\cos\phi, </math>▼
▲<math>E = - \mu H\cos\phi, </math>
כאשר φ היא הזווית בין המומנט המגנטי והשדה המגנטי. פונקציית החלוקה המתאימה היא
<math display="block">Z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>▼
▲<math>Z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>
ניתן לראות כי אין כל תלוי בזווית θ, וניתן להמיר את ה[[משתנה|משתנים]] לצורה y = cosφ על מנת להשיג
שורה 109 ⟵ 89:
בעקבות זאת, ערך התצפית של רכיב z של המגנטיזציה (כאשר מתייחסים לרכיבים האחרים כשווים לאפס) יהיה לפי הנוסחה
<math display="block">\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \mu\cos\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>▼
▲<math>\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \mu\cos\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>
שוב, תוצאה זו ניתן לקבל גם על ידי גזירת פונקציית החלוקה:
<math display="block">\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z H} \partial_\beta Z.</math>▼
▲<math>\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z H} \partial_\beta Z.</math>
אם ממשיכים בתהליך הגזירה, מוצאים כי
<math display="block">\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu H\beta), </math>▼
▲<math>\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu H\beta), </math>
כאשר L היא [[פונקציית לנז'בן]]:
<math display="block"> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>▼
▲<math> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>
הפונקציה הזו אינה סינגולרית עבור x קטן. מבחינה מעשית, ההתנהגות שלה עבור ארגומנטים קטנים דומה לזו של הפונקציה tanh, כך שנוסחת ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] שלמעלה מיושמת גם במקרה זה.
| |||