|
'''משוואת קושי-אוילר''' (לעתים נקראת גם משוואת אוילר) היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]], אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית לינארית| משוואות דיפרנציאליות לינאריות]] עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים [[אוגוסטן לואי קושי]] ו[[לאונרד אוילר]].
==הגדרה פורמלית==
צורתה הכללית של '''משוואות אוילר ההומוגנית ''' נתונה בצורההיא הבאהכלהלן: ▼
<math>\ sum _sum_{ i=0 }^{ n }{ { { a }_{ i }{ x }^{ i } }\cdot { y }^{ (i) }(x) } ={ a }_{ n }{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=0</math> ,▼▲משוואות אוילר ההומוגנית נתונה בצורה הבאה:
▲<math>\sum _{ i=0 }^{ n }{ { { a }_{ i }{ x }^{ i } }\cdot { y }^{ (i) }(x) } ={ a }_{ n }{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=0</math>,
כאשר המקדמים הם מספרים ממשיים, והמקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר שונה מ[[0 (מספר)|אפס]].
זוהיכאשר משוואההמקדמים <math>a_i</math> הם מספרים ממשיים, ו-<math>y(x)</math> הנה פונקציה ממשית משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא <math>n</math> אם מתקיים <math>a_n \neq 0</math>. במקרה זה, היות ומדובר במשוואה לינארית הומוגנית, ולכן יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים [[מרחב וקטורי]].
'''משוואות אוילר הלא הומוגנית''' היא מהצורה:
<math>{ a }_{ n }{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=f(x)</math>, ▼כאשר f היא פונקציה כלשהי שלא שווה זהותית לאפס.
▲<math>{ a }_{ n }{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=f(x)</math> ,
לעתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה: ▼<math>{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=f(x)</math> ▼
כאשר המקדמים ממשיים ו-<math>f</math> היא פונקציה ממשית כלשהי.
▲לעתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר <math>n > 0</math>, תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:
נציג מספר משוואות אוילר. ▼
1) <math>{ x }^{ 2 n}{ y }''^{(n)}+2xy'{a}_{n-2y=1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)</math>
אפשר להיווכח בכך ש-<math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math> הם פתרונות בלתי תלויים למשוואה, ולכן צירוף לינארי שלהם הוא הפתרון הכללי. ▼
▲נציג מספר משוואות אוילר.
2) <math>{ x }^{ 2 }{ y }''-x{ y }'+y=0</math>
כאן <math>y(x)=x</math> הוא פתרון למשוואה. גם <math>y(x)=xln(x)</math> הוא פתרון למשוואה. היות שהם בלתי תלויים לינארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של שני אלו. ▼
3) <math>{ x }^{ 2 }{ y }''+xy'+y=0</math>
מכאן שהפתרונות הבלתי תלויים למשוואה הם <math>{ y }_{ 1 }(x)=sin(ln(x)), { y }_{ 2 }(x)=cos(ln(x))</math>. ▼
▲#<math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math> - אפשר להיווכח בכך ש-<math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math> הם פתרונות בלתי -תלויים למשוואה, ולכן צירוף לינארי שלהם הוא הפתרון הכללי.
בהמשך נראה את השיטה לפתרון המשוואה.
▲כאן#<math>{x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0</math> - הפונקציה <math>y(x)=x</math> הואהיא פתרון למשוואה ., כמו גם <math>y(x)=xln(x)</math> הוא פתרון למשוואה. היות שהם בלתי -תלויים לינארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של שני אלו.
▲מכאן#<math>{x}^{2}{y}''+xy'+y=0</math> שהפתרונות- הבלתישני הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם <math>{ y }_{ 1 }(x)=sin(ln(x)), { y }_{ 2 }(x)=cos(ln(x))</math>.
==מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים==
עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה
▲<math> \sum_{ x i=0}^{ n }{ {{a}_{i}}\cdot{y }^{ ( ni) } +(x)}={ a }_{ n -1 }{ x y}^{ (n)}+{a}_{n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }= f(x)0</math>
אחד הדברים החשובים בנוגע למשוואת אוילר, הוא שהיא שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] עם מקדמים קבועים. כלומר, ניתן לקחת כל משוואה כזו ולהפוך אותה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] עם מקדמים קבועים. עם זאת, לא זוהי השיטה לפתור את המשוואה בפועל - שיטה זו תוצג בהמשך.
השקילות מתבצעת על ידי ההצבה <math>x=\operatorname{sgn}(x){e}^{t}</math>. לצורך הפשטות, נניח שלפנינו משוואת אוילר הבאה: <math>{ x }^{ 2 }y''+{a}_{1}xy'+{a}_{0}{y}=0</math>
<math>{ x }^{ 2 }y''+{a}_{1}xy'+{a}_{0}{y}=0</math> ▼
אם נגביל את הדיון לxעבור <math>x>0</math>, נשתמש בהצבה <math>x={ e }^{ t }</math>, (עבורומתוכה x<0 אפשר בדומה להציבנקבל <math>t=ln(x=-{ e }^{ t })</math>). הנגזרות נתונות, לפי [[כלל השרשרת]], על ידי:
<math>y'=\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ dt } \frac { dt }{ dx } =\frac { 1 }{ x } \frac { dy }{ dt } ={ e }^{ -t }\frac { dy }{ dt } </math> ▼מתוך ההצבה נקבל <math>t=ln(x)</math>.
<math>y''=\frac { d }{ dx } \frac { dy }{ dx } =\frac { d }{ dt } ({ e }^{ -t }\frac { dy }{ dt } )\frac { dt }{ dx } =(-{ e }^{ -t }\frac { dy }{ dt } +{ e }^{ -t }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } ){ e }^{ -t }</math> ▼הנגזרות נתונות, לפי [[כלל השרשרת]], על ידי:
▲<math>y'=\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ dt } \frac { dt }{ dx } =\frac { 1 }{ x } \frac { dy }{ dt } ={ e }^{ -t }\frac { dy }{ dt } </math>
▲<math>y''=\frac { d }{ dx } \frac { dy }{ dx } =\frac { d }{ dt } ({ e }^{ -t }\frac { dy }{ dt } )\frac { dt }{ dx } =(-{ e }^{ -t }\frac { dy }{ dt } +{ e }^{ -t }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } ){ e }^{ -t }</math>
אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל:
<math>\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } +({ a }_{ 1 }-1)\frac { dy }{ dt } +{ a }_{ 0 }y=0</math>, אכן משוואה לינארית עם מקדמים קבועים.
זו משוואה לינארית עם מקדמים קבועים.
גם המעבר בכיוון הנגדי אפשרי, על ידי ההצבה ההפוכה.
(במקרה הכללי פועלים באופן דומה - מוצאים את כל הנגזרות לפי כלל השרשרת, מציבים ומגיעים לאותה התוצאה למקרה של משוואה מסדר n).
==שיטת פתרון המשוואה ההומוגנית==
ראינומשוואת לעילאוילר שמשוואת אוילרההומוגנית שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: <math>y(t)={e}^{rt}</math>. אם נחזור למשתנה x, נקבל: <math>y(x)={x}^{r}</math>. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.▼
לאחר הצגתלאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו . אם נחזור לדוגמא של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: <math>y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}</math>. ▼▲ראינו לעיל שמשוואת אוילר שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט:
<math>y(t)={ e }^{ rt }</math>.
אם נחזור למשתנה x, נקבל:
<math>y(x)={ x }^{ r }</math>.
על ידי הצבה:
לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.
<math>{ x }^{ 2 }\cdot r(r-1){ x }^{ r-2 }+{ a }_{ 1 }x\cdot r{ x }^{ r-1 }+{ a }_{ 0 }{ x }^{ r }=0</math> ▼▲לאחר הצגת עובדה זו, אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו.
אם שוב נעסוק במקרה של משוואה מסדר 2, נקבל:
▲<math>{ x }^{ 2 r} y''\cdot[r(r-1)+{a}_{1} xy'r+{a}_{0} {y}]=0</math> .
נניח שניחשנו את הפתרון הבא:
<math>y={ x }^{ r },\quad y'=r{ x }^{ r-1 },\quad y''=r(r-1){ x }^{ r-2 }</math>.
אז נציב:
זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: <math>r(r-1)+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 0 }=0</math>. פולינום זה נקרא '''המשוואה האינדיציאלית''' של המד"ר. פתרון המשוואה יביא אל הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית המקורית.
▲<math>{ x }^{ 2 }\cdot r(r-1){ x }^{ r-2 }+{ a }_{ 1 }x\cdot r{ x }^{ r-1 }+{ a }_{ 0 }{ x }^{ r }=0</math>
<math>{ x }^{ r }\cdot [r(r-1)+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 0 }]=0</math>.
===דוגמא===
זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: <math>r(r-1)+{ a }_{ 1 }r+{ a }_{ 0 }=0</math>
כעת נפתור את המשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: <math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math>.
המשוואה האינדיציאלית היא <math>(r(r-1)+2r-2=(r-1)(r+2</math> ששורשיה הם <math>r=1,-2</math>. לכן , הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם <math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math>, כנאמר לעיל .▼
פולינום זה נקרא '''המשוואה האינדיציאלית''' של המד"ר.
כעת נראה דוגמה לפתרון לפי השיטה הזו.
למשל, במשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל:
<math>{ x }^{ 2 }{ y }''+2xy'-2y=0</math>,
המשוואה האינדיציאלית היא:
<math>(r(r-1)+2r-2=(r-1)(r+2</math>
▲ששורשיה הם <math>r=1,-2</math>. לכן הפתרונות הם <math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math>, כנאמר לעיל.
===סוגי פתרונות אפשריים===
השורשים של המשוואה האינדיציאלית יכולים להתחלק לכמה סוגים:
#שורש ממשי עם ריבוי - לכל שורש <math>r</math> המופיע בריבוי <math>m</math> במשוואה האינדיציאלית, הפתרונות הם: <math>{x}^{r},{x}^{r}\ln(x),...,{x}^{r}{\ln}^{m-1}x</math>.
* #שורש ממשי עם ריבוימרוכב - לכל שורשאם <math>ra+bi</math> המופיעהוא בריבוישורש, אז גם <math>ma-bi</math> במשוואההוא האינדיציאליתשורש, הפתרונותוהפתרון עבורם נתון על הםידי: <math>{ x }^{ r a},{\cos(b\cdot x }^{ r }\ln(x)),...,\quad{ x }^{ r a}{ \sin(b\cdot\ln }^{ m-1 }(x))</math>.
* #שורש מרוכב עם ריבוי - אם <math>a+bi</math> הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם: <math>{ x }^{ a }\cos(b\cdot \ln(x)),{ x }^{ a }\sin(b\cdot \ln(x)),...,{ \ln }^{ m-1 }(x)\cdot { x }^{ a }\cos(b\cdot \ln(x)),{ ln }^{ m-1 }(x)\cdot { x }^{ a }\sin(b\cdot \ln(x))</math> ▼
* שורש מרוכב - אם <math>a+bi</math> הוא שורש, אז גם <math>a-bi</math> הוא שורש, והפתרון עבורם נתון על ידי: <math>{ x }^{ a }\cos(b\cdot ln(x)),\quad { x }^{ a }\sin(b\cdot \ln(x))</math>
▲* שורש מרוכב עם ריבוי - אם <math>a+bi</math> הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם: <math>{ x }^{ a }\cos(b\cdot ln(x)),{ x }^{ a }\sin(b\cdot \ln(x)),...,{ \ln }^{ m-1 }(x)\cdot { x }^{ a }\cos(b\cdot \ln(x)),{ ln }^{ m-1 }(x)\cdot { x }^{ a }\sin(b\cdot \ln(x))</math>
מסקנות אלו נכונות בגלל היותן נכונות ל[[משוואה דיפרנציאלית לינארית| משוואות דיפרנציאליות לינאריות]] במקדמים קבועים.
==שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית==
כמו בכל משוואה לינארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית. לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים .: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת. ▼
כמו בכל משוואה לינארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית.
▲לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים. ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.
תהי המשוואה:
<math>{ x }^{ n }{ y }^{ (n) }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ (n-1) }+...{ a }_{ 0 }{ y }=f(x)</math>
ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור[[משוואה דיפרנציאלית לינארית| משוואות דיפרנציאליות לינאריות]], נכון אנלוגית גם כאן. בצורה הכללית ביותר, אם
<math>f(x)={ x }^{ a }[{ c }_{ 11 }+{ c }_{ 12 } \ln(x)...+{ c }_{ 1p }{ \ln }^{ p-1 }(x)] \sin(b\cdot \ln(x))+{ x }^{ a }[{ c }_{ 21 }+{ c }_{ 22 } \ln(x)...+{ c }_{ 2p }{ \ln }^{ p-1 }(x)] \cos(b\cdot \ln(x))</math> ▼בצורה הכללית ביותר, אם
▲<math>f(x)={ x }^{ a }[{ c }_{ 11 }+{ c }_{ 12 }ln(x)...+{ c }_{ 1p }{ ln }^{ p-1 }(x)]sin(b\cdot ln(x))+{ x }^{ a }[{ c }_{ 21 }+{ c }_{ 22 }ln(x)...+{ c }_{ 2p }{ ln }^{ p-1 }(x)]cos(b\cdot ln(x))</math>
ואם <math>a+bi</math> הוא שורש של המשוואה האינדיציאלית מסדר m, אז הפתרונות הם:
<math>{ x }^{ a }{ ln }^{ m+k }(x)sin(b\cdot \ln(x)),{ x }^{ a }{ ln }^{ m+k }(x)cos(b\cdot ln(x))\quad ,k=1,...,p</math>
==ראו גם==
*[[משוואה דיפרנציאלית לינארית]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]
| 