מספר ראשוני – הבדלי גרסאות

[[קובץ:Prime rectangles.png|שמאל|ממוזער|250px|המספר 12 אינו ראשוני שכן ניתן להציגו כמכפלה של המספרים 3 ו-4. המספר 11 הוא ראשוני, שכן אינו ניתן להצגה כ[[כפל|מכפלה]] של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו.]]

 

 

לפי "[[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]", כל מספר טבעי גדול מ-1 אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים (למשל: <math>\ 28 = 7\times 2\times 2</math>). ההצגה הזו יחידה [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שינוי סדר. ראשוניים אלה נקראים [[גורם|גורמים]] של המספר.

בלשון מודרנית, אומרים ש[[חוג המספרים השלמים]] הוא "[[תחום פריקות יחידה]]".

 

[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|קיימים אינסוף מספרים ראשוניים]]. ה[[הוכחה]] הראשונה לכך ניתנה בספרו של [[אוקלידס]], "[[יסודות (ספר)|יסודות]]". זוהי [[הוכחה בדרך השלילה]]:

: ברור שלכל מספר גדול מ-1 יש [[מחלק|גורם]] ראשוני (זו טענה שאפשר להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית]]). נניח שיש רק מספר סופי של ראשוניים, <math>\ p_1,\dots,p_n</math>. המספר <math>\ N = p_1\dots p_n+1</math> (מכפלת n הראשוניים הללו פלוס 1) אינו מתחלק באף אחד מהם, ולכן אין לו גורמים ראשוניים - אבל זו סתירה לכך ש- <math>\ N>1</math>. מכאן שאין רשימה סופית הכוללת את כל הראשוניים.