טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות

== סיכום לא סטנדרטי ==

[[טור (מתמטיקה)|טור]] המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי שלו אינו שואף לאפס. עם זאת, אפשר לטפל בו אם מרחיבים את מושג הסיכום של טורים, באופן הבא.

ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> היא כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת הסכומים החלקיים <math>\ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k</math>, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות <math>\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math>, שהוא [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]], ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא [[פונקציונל לינארי]] <math>\ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R}</math> המחזיר על הסדרה <math>\ (a_1,a_2,\dots)</math> את הסכום שלה, <math>\ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת ה[[סומביליות]] ([[שיטות סיכום]]).{{הערה|למשל, [[משפט האן-בנך]] מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה.}}