טור המספרים הטבעיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עזרתי להבין מה קורה פה תגיות: חשד למילים בעייתיות עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
מ שוחזר מעריכות של 176.13.17.41 (שיחה) לעריכה האחרונה של בריאן |
||
שורה 1:
'''טור המספרים הטבעיים''' הוא תוצאת ה[[חיבור]] של [[סדרה|סדרת]] ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], מ-[[1 (מספר)|1]] ועד [[אינסוף]] (<math>\ 1+2+3+\cdots</math>). [[טור (מתמטיקה)|טור]] זה אינו [[התכנסות (מתמטיקה)|מתכנס]], ולכן אין לו סכום במובן הרגיל של המילה. מצד שני, ניתן בהנחות המתאימות להגיע לתוצאה המוזרה <math>\ 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}</math>. חישוב זה מבוסס על שיטות סיכום המשתמשות ב[[פונקציית זטא של רימן]] וב[[סיכום רמנוג'אן]].{{הערה|שיטת סיכום שהמציא [[סריניוואסה רמנוג'אן]]. ראו [[:en:Ramanujan summation|Ramanujan summation]] בוויקיפדיה האנגלית.}}
למרות שבמבט ראשון לא נראה שלסכום סדרת המספרים הטבעיים יהיה שימוש מעשי כלשהו, נעשה בו שימוש במספר תחומים מדעיים, כגון: [[אנליזה מרוכבת]], [[תורת שדות קוונטית]] ו[[תורת המיתרים]]. בתורת המיתר הבוזוני, למשל, שימוש בסכום זה מביא לתוצאה של קיומם של 26 ממדים למרחב (ממד זמן, ממד אורך ו־24 ממדים נוספים).{{הערה|Lepowsky, J. (1999), [http://arxiv.org/abs/math/9909178 "Vertex operator algebras and the zeta function"], in Naihuan Jing and Kailash C. Misra, Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics, Contemporary Mathematics 248, pp. 327–340 {{אנגלית}}}}
שורה 5:
== סיכום לא סטנדרטי ==
[[טור (מתמטיקה)|טור]] המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי שלו אינו שואף לאפס. עם זאת, אפשר לטפל בו אם מרחיבים את מושג הסיכום של טורים, באופן הבא.
ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> היא כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת הסכומים החלקיים <math>\ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k</math>, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות <math>\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math>, שהוא [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]], ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא [[פונקציונל לינארי]] <math>\ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R}</math> המחזיר על הסדרה <math>\ (a_1,a_2,\dots)</math> את הסכום שלה, <math>\ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת ה[[סומביליות]] ([[שיטות סיכום]]).{{הערה|למשל, [[משפט האן-בנך]] מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה.}}
| |||