פונקציה יוצרת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Felagund-bot (שיחה | תרומות) בוט - מחליף 'פונקצית' ב'פונקציית' |
שכתוב |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה יוצרת''' היא כלי המשמש לטיפול ב[[סדרה|סדרות]] של מספרים, בדרך של איחודן לאובייקט אלגברי ואנליטי אחד, שממנו אפשר לקרוא את הסדרה כולה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה <math>\ a_0,a_1,a_2,\dots</math> היא [[טור חזקות|הטור]] <math>\ a_0+a_1x+a_2x^2+\dots</math>, כאשר <math>\ x</math> הוא [[משתנה (מתמטיקה)|משתנה]]. מוגדרות גם פונקציות יוצרות מסוגים אחרים, בהתאם לשימוש הרצוי.
בשימושים [[קומבינטוריקה|קומבינטוריים]] מתייחסים לפונקציה היוצרת כאל אובייקט פורמלי, המוגדר גם כאשר הטור אינו [[טור מתכנס|מתכנס]]; הפונקציה אינה אלא "חבל כביסה, עליו אנו תולים סדרת מספרים לתצוגה" <ref>הרברט וילף, Generatingfunctionology</ref>.
במקרים אחרים, ובפרט ב[[תורת המספרים האנליטית]], משחקות התכונות האנליטיות של הפונקציה היוצרת תפקיד מרכזי. דוגמאות בולטת לפונקציות יוצרות בהקשר זה הן [[פונקצית זטא|פונקצית זטא]] מסוגים שונים, ו[[פונקצית תטא|פונקציות תטא]] של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]].
== סוגים של פונקציות יוצרות ==
1. '''הפונקציה היוצרת הסטנדרטית''' של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא טור החזקות <math>\ G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>. בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא [[משתנה מקרי]] שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסויים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת לפי הנוסחה <math>\ G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(X=n)x^n</math>. במקרה כזה <math>\ G_X(1)=1</math>, ומן הנגזרות של <math>\ G_X</math> אפשר לקרוא את ה[[מומנט (סטטיסטיקה)|מומנטים]]: <math>\ G_X'(1)</math> שווה ל[[תוחלת]] של X, ובאופן כללי <math>\ G^{(k)}(1)</math> שווה לתוחלת של <math>\ \frac{X!}{(X-k)!}</math>. הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום <math>\ X+Y</math> שווה למכפלת הפונקציות היוצרות: <math>\ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)</math>.
רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים. למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך <math>\ a_{n,m}</math> היא הפונקציה בשני משתנים, <math>\ G(x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n</math>.
2. '''פונקציה יוצרת אקספוננציאלית''': <math>EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>. מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על-ידי גזירה n פעמים והצבת 0: <math>\ a_n=EG^{(n)}(0)</math>. הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה <math>\ a_0,a_1,a_2,\dots</math> היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת <math>\ a_1,a_2,a_3,\dots</math>.
▲תהא <math>\ \left\{a_n\right\}_{n=0}^\infty</math> סדרה כלשהי. הפונקציה היוצרת של הסדרה מוגדרת כך:
3. '''פונקצית [[דיריכלה]]'''. <math>\
4. '''פונקציה יוצרת פואסונית'''. <math>PG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!}</math>, המשקללת את ערכי הסדרה עם ההסתברויות ב[[התפלגות פואסון]].
6. '''סדרת בל''' <math>f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n</math>, משמשת ב[[תורת המספרים|תורת המספרים האלמנטרית]], במיוחד כאשר ''f'' הינה [[פונקציה אריתמטית]] ו ''p'' מספר ראשוני.
▲:<math>LG(a_n;x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}</math>
[[קטגוריה: קומבינטוריקה]]
[[en:Generating function]]
| |||