טופולוגיית זריצקי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של Mimini (שיחה) לעריכה האחרונה של Matanyabot |
|||
שורה 11:
== תכונות ==
=== קבוצות האפסים ===
שורה 17 ⟵ 16:
: <math>\mathcal{V}(I) = \left\{ x \in k^n | \forall f \in I : f(x) = 0 \right\}</math>
אזי:
# <math>\mathcal{V}(0) = k^n \
# כל הקבוצות מהצורה <math>\mathcal{V}(I)</math> הן [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] בטופולוגיית זריצקי.
# "הופך סדר [[תת-קבוצה|הכלה]]": <math>I_2 \subset I_1 \implies \mathcal{V}(I_2) \supset \mathcal{V}(I_1)</math>.
# <math>\mathcal{V}(I_1 I_2) = \mathcal{V}(I_1 \cap I_2) = \mathcal{V}(I_1) \cup \mathcal{V}(I_2)</math>.
# <math>\mathcal{V}\left( \sum_{\lambda} I_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda} \mathcal{V}(I_\lambda)</math>.
# כל נקודה <math>a \in k^n</math> היא [[קבוצה סגורה]] (היא מאפסת את [[אידאל מקסימלי|האידאל המקסימלי]] שנוצר על ידי <math>( x_1 - a_1
=== אידאלים מאפסים ===
שורה 31 ⟵ 30:
# זהו [[אידאל רדיקלי]]: <math>\sqrt{ \mathcal{I}(H) } = \mathcal{I}(H)</math>.
# [[משפט האפסים של הילברט]]:
## <math>\mathcal{V}(\mathcal{I}(H)) = \overline{H}</math> (ה[[סגור אלגברי|סגור]] של H).
## לכל אידאל <math>I \subset A</math> מתקיים <math> \mathcal{I}(\mathcal{V}(I)) = \sqrt{I}</math>.
# "הופך סדר הכלה": <math>H_1 \subset H_2 \implies \mathcal{I}(H_1) \supset \mathcal{I}(H_2)</math>
# <math> \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_2)) \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_1))
# <math> \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_2)) = \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_1))
מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] בין הקבוצות הסגורות של <math>k^n</math> לבין האידאלים הרדיקליים של <math>A = k[x_1,...,x_n]</math>. ניתן להכליל זאת ל-k-אלגברה כללית A כאשר את <math>k^n</math> מחליפה <math>\mathrm{Max}(A)</math> שהיא קבוצת [[אידאל מקסימלי|האידאלים המקסימליים]] של A. במקרה ש-A היא אלגברת הפולינומים <math> k[x_1,...,x_n]</math> ניתן להראות באמצעות [[משפט האפסים של הילברט]] (בגרסתו החלשה) ש-<math>\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n</math>.
שורה 43 ⟵ 41:
מהאמור לעיל, <math>\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n</math>. במקרה הזה, ניתן לראות שההתאמה בין [[אידאל מקסימלי]] ל"נקודה" במרחב האפיני ניתנת על ידי
: <math>\vec{a}=(a_1
כאשר הסוגריים באגף ימין מסמלים את ה[[אידאל (תורת החוגים)|אידאל]] הנוצר על ידי הפונקציות הללו. למעשה,
: <math>\mathcal{V} \left( x_1 - a_1
כעת, יהי I אידאל בחוג <math>k[x]</math>, אזי <math>a \in \mathcal{V}(I)</math> אם ורק אם לכל <math>f \in I</math> מתקיים ש-<math>f(a)=0</math>, כלומר: לכל <math>f \in I</math> מתקיים <math>(x-a)|f(x)</math>, כלומר: האידאל הנוצר על ידי f מוכל באידאל המקסימלי הנוצר על ידי <math>(x-a)</math>. נכליל זאת: <math>x \in \mathcal{V}(I) \iff I \subset M_x</math>
באמעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור k-אלגברה A טופולוגיית זריצקי לא רק על <math>\mathrm{Max}(A)</math> אלא גם על <math>\mathrm{Spec}(A)</math> - [[ספקטרום של חוג|אוסף האידאליים הראשוניים]] של A. ההכללה נעשית באמצעות ההגדרה הבאה:
: יהי <math>I</math> אידאל ב-A, אזי [[אידאל ראשוני]] P שייך ל-<math>\mathcal{V}(I)</math> אם ורק אם <math>I \subset P</math>,
ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה <math>\mathcal{V}(I)</math> להיות [[קבוצה סגורה|הקבוצות הסגורות]] ב-<math>\mathrm{Spec}(A)</math>. הכללה זו מובילה למושג ה[[סכמה (מתמטיקה)|סכמה]] (ראו [[סכמה אפינית]]).
== ראו גם ==
* [[גאומטריה אלגברית]]
* [[יריעה אלגברית]]
שורה 59 ⟵ 56:
== לקריאה נוספת ==
* T.A. Springer, '''Linear Algebraic Groups''', chapter 1
| |||