השערת ארטין על שורשים פרימיטיביים

בתורת המספרים, השערת ארטין על שורשים פרימיטיביים גורסת כי כל מספר טבעי נתון a שאינו מספר ריבועי או 1- הוא שורש פרימיטיבי מודולו אינסוף מספרים ראשוניים p. ההשערה מייחסת גם צפיפות אסימפטוטית לראשוניים הללו. להשערה קשר ישיר להתנהגות השברים העשרוניים שמייצגים מספרים רציונליים מהצורה ${\frac {1}{p}}$; כיוון שהמספר 10 אינו ריבוע שלם או 1-, ההשערה קובעת למעשה כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים p שעבורם אורך המחזור של השבר העשרוני שמייצג את $1/p$ הוא בדיוק $p-1$.

את ההשערה שיער לראשונה אמיל ארטין בהתכתבות עם הלמוט הסה בספטמבר 27, 1927, לפי יומנו של האחרון. נכון ל-2013, ההשערה נותרת פתוחה. למעשה, לא קיים אפילו ערך נתון אחד של a בעבורו השערת ארטין מוכחת.

ראו גם

• איבר פרימיטיבי