משוואה דיופנטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←קישורים חיצוניים: אנציקלופדיה למתמטיקה |
סקריפט החלפות (,) |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]] '''משוואה דיופנטית''' היא [[משוואה]] ש[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] הפתרונות
מנקודת מבט כללית יותר מתייחס השם "משוואה דיופנטית" גם למשוואות שבהן הנעלמים עשויים לקבל ערכים בחוגים אחרים, ובפרט ב[[חוג שלמים|חוגי שלמים]] של [[שדה מספרים|שדות מספרים]].
שורה 5:
== מיון של משוואות דיופנטיות ==
המיון הבסיסי של משוואות דיופנטיות דומה לזה של מערכות משוואות אחרות: ההבחנה הראשונה היא בין משוואות פולינומיות לבין משוואות כלליות. פרמטרים בסיסיים אחרים הם '''מספר המשוואות''' ו'''מספר המשתנים'''. למשוואות שאינן פולינומיות (כמו [[בעיית דיפי-הלמן|משוואת דיפי-הלמן]] <math>\ a^x=c+ny</math>, בנעלמים x ו-y עבור a,c,n נתונים), אין תאוריה כללית, ובדרך כלל מיוחד המונח "משוואה דיופנטית" למשוואות פולינומיות. משוואות פולינומיות אפשר למיין מיון נאיבי על-פי ה[[מעלה של פולינום|מעלה הכוללת של הפולינום]], אך התאוריה המודרנית, המטפלת במשוואות דיופנטיות בכלים של [[גאומטריה אריתמטית]], ממיינת את מערכות המשוואות על-פי ה[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] הגאומטרי שלהן.
בעקבות פתרון [[הבעיה העשירית של הילברט]], ידוע שאין אלגוריתם המכריע האם למערכת משוואות נתונה יש פתרון. עם זאת, תורת המספרים הקלאסית התמודדה עם טיפוסים רבים של משוואות דיופנטיות (בעיקר ממעלות 2, 3 ו-4), ופותחו כמה שיטות כלליות, כמו גם נימוקים מבריקים לכל מקרה ומקרה. אחת הדוגמאות הידועות היא המשוואה הריבועית <math>\ x^2+y^2=z^2</math>, הנגזרת מ[[משפט פיתגורס]], ושהפתרונות לה נקראים [[שלשה פיתגורית|שלשות פיתגוריות]]. למשוואה זו יש פתרון כללי: <math>\!\, x=2st, y =s^2 -t^2, z= s^2 +t ^2 </math> כאשר s,t מספרים טבעיים.
לפי [[המשפט האחרון של פרמה]], למשוואה <math>\!\,x^n+y^n=z^n </math> עבור n>2 אין פתרונות שלמים, למעט הטריוויאליים (שבהם אחד הנעלמים שווה ל-0).
משוואות דיופנטיות מערבות במקרים רבים קשיים חישוביים משמעותיים. פתרון המשוואה הפשוטה <math>\ xy = n</math> (עבור <math>\ x,y>1</math>) שקול ל[[פירוק מספר שלם לגורמים|בעיית הפירוק]] של המספר n לגורמיו הראשוניים, ומאמינים שעבור n גדול, זוהי בעיה קשה. יש שיטות הצפנה נפוצות (כמו [[RSA]]) שחוזקן מבוסס על ההנחה שבעיית הפירוק אכן קשה לפתרון.
שורה 15:
== המשוואה <i style="font-family:Times New Roman;">ax+by=c</i> ==
למשוואה הדיופנטית <math>\ ax+by = c</math> (עבור a,b,c נתונים) יש פתרון בשלמים אם ורק אם ה[[מחלק משותף מקסימלי|מחלק המשותף המקסימלי]] של a ו-b מחלק את c.
במידה וכן נסמן gcd(a,b)=d ונייצג את d באמצעות [[אלגוריתם אוקלידס המורחב]] כך : d=aw+bz. על ידי [[כפל|הכפלה]] בc/d נקבל פתרון אחד ל[[משוואה]] - ax<sub>1</sub>+by<sub>1</sub>=c. נקבל את שאר הפתרונות על ידי ה[[נוסחה|נוסחאות]] : x = x<sub>1</sub> + tb/d
=== דוגמה ===
{{לשכתב|פסקה=כן|סיבה=נראה כי דוגמה זו נכתבה במהירות. היא מכילה שגיאות תחביר, שאריות גלויות של קוד מקור, ובעיקר - היא לא מעוצבת כראוי וקשה לקריאה. יש לרווח בין השורות ובעיקר - בתוך השורות, להוסיף כמה מילים בין חלקי מתמטיקה אם אפשר, לתקן טעויות תחביר (בעיקר פיסוק) ולהפוך את הפסקה יותר קלה לקריאה.|נושא=מדעי הטבע}}
שורה 27:
<math>6000 \cdot 20 -7000\cdot 17 =1000</math><br>
<math>x_{0} = 6000,y_{0} = -7000</math><br>
נקבל <math>x = 6000 + 17t
לפתרונות הטבעיים נציב באי השוויון ונקבל
<math>-349>t>-353</math> ונקבל את הפתרונות <math>x_{123} = 33,50,16</math> ו<math>y_{123}=20,0,40</math>.<br>
| |||