Theorema Elegantissimum – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 15:
* משפט גאוס-בונה מכליל את המשפט למקרה שצלעותיו של המשולש אינן [[גאודזה|קווים גאודטיים]] של המשטח. משפט גאוס-בונה משלב בין רעיונות מגאומטריה דיפרנציאלית כמו עקמומיות גאוס ועקמומיות גאודטית לרעיונות מ[[טופולוגיה]] כמו [[מאפיין אוילר]] לכדי קשר מתמטי עמוק ויוצא מן הכלל. משפט זה הוא הפרוטוטיפ של [[משפט האינדקס של עטיה-זינגר|משפטי האינדקס]] שהתפתחו ב[[המאה ה-20|מאה ה-20]].
== משפט השטח של גאוס בגאומטריה היפרבולית ==
במקרה של [[גאומטריה היפרבולית]] עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה (שניתן לתאר את התנהגותה על ידי אחד המודלים של המישור ההיפרבולי), גאוס נתן הוכחה [[גאומטריה סינתטית|גאומטרית סינתטית]] למשפט גאוס בונה במכתבו ל[[יאנוש בולאי]] מ-1832, שעסק ב[[גאומטריה לא-אוקלידית]]. במקרה זה משפט גאוס בונה קובע, בנוסף על כך שגם כאשר ההיקף של משולש שואף לאינסוף השטח שלו לעולם לא יכול לעלות על ערך מסוים (כלומר יש חסם עליון לשטח של משולש), '''שהגרעון הזוויתי פרופורציונלי במדויק לשטח'''. הוכחה זאת ראויה במיוחד לציון משום שהיא ניחנה באותה פשטות מושלמת שמאפיינת הוכחות לטענות כמו האי-רציונליות של שורש 2 או קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים. הטיעון שלו מורכב מ-7 חלקים (המחשות גאומטריות לטיעון מופיעות במאמר שהובא ברשימת המקורות):
1. שלושה ישרים, מקבילים בזוגות בכיוונים מנוגדים, יוצרים משולש אסימפטוטי ''T'' (שכל זוויותיו אפס).
2. ל-''T'' יש שטח סופי, שנסמנו ''t'' (שאם לא כן הגאומטריה היא אוקלידית).
3. ישר ''de'' ושתי [[קרן (גאומטריה)|קרנ]]יים מקבילות לו היוצאות מנקודה חיצונית ''a'' יוצרות משולש ששתיים מזוויותיו אפס, אשר השטח שלו הוא פונקציה <math>f(\phi)</math> של [[זווית חיצונית|הזווית החיצונית]] למשולש בקודקוד ''a'' (בלבד!), אשר עולה מ-<math>f(0) = 0</math> ל- <math>f(\pi) = t</math>.
4. התייחסות למשולש אסימפטוטי, תוך הצבת הקודקוד ''a'' על אחת מצלעות המשולש האסימפטוטי, מאפשרת לייצר שני משולשים מהסוג שהוגדר בסעיף 3 (אשר שתיים מזוויותיהם אפס). סכום השטחים של שני המשולשים הללו שווה לזה של המשולש האסימפטוטי (שסימנו אותו ''t''), לכן: <math>f(\phi) + f(\pi - \phi) = t</math>.
5. הצבת הנקודה ''a'' בתוך המשולש (לא על צלעותיו) מאפשרת, בדומה לסעיף 4, לייצר שלושה משולשים ששתיים מזוויותיהם אפס (באמצעות העברת מקבילים מנקודה זו לכל אחת מצלעות המשולש), ולכן מתקיים: <math>f(\phi) + f(\Phi) + f(\pi - \phi - \Phi) = t</math>. סעיף זה למעשה עושה שימוש מהותי באקסיומה הבסיסית שמאפיינת את הגאומטריה ההיפרבולית: דרך כל נקודה מחוץ לישר נתון ניתן להעביר לפחות שני ישרים מקבילים לו.
6. מכיוון ש-: <math>f(\phi) + f(\Phi) = t - f(\pi - \phi - \Phi) = f(\phi + \Phi)</math>, אז מתקיים ש-: <math>\frac {{f(\phi)}}{{\phi}} = const</math>, וערכו של קבוע זה הוא <math>\frac {{f(\phi)}}{{\phi}} = \frac {{t}}{{\pi}}</math>.
7. ניתן לפרק את המשולש האסימפטוטי ''T'' למשולש סופי ABC בעל שטח שנסמנו ''Z'' ושלושה משולשים ששתיים מזוויותיהם אפס. הזוויות החיצוניות לשלושת המשולשים הללו הם הזוויות הפנימיות של המשולש הסופי (המשולש הרביעי) ''A'',''B'',''C'', לכן אם נסמן את שטחיהם באותיות <math>\alpha,\beta,\gamma</math>, אז מתקיים:
<math>\alpha = f(A) =\frac {{t\pi}}{{A}},\beta = f(B) = \frac {{t\pi}}{{B}},\gamma = f(C) = \frac {{t\pi}}{{C}}</math> ומכאן נקבל:
<math> t = \alpha + \beta + \gamma + Z = \frac {{t}}{{\pi}}(A + B + C) + Z \implies Z = \frac {{t}}{{\pi}} (\pi - A - B - C) </math>
ובכך תמה ההוכחה.
== מקורות ==
* Dictionary of Analysis, Calculus and Differential Equations, Douglas N. Clark.
* [https://ac.els-cdn.com/0315086077900751/1-s2.0-0315086077900751-main.pdf?_tid=87dda10a-f948-11e7-bc7a-00000aab0f02&acdnat=1515947737_23022de27407ae1b0305e0762dfb031c] ,Gauss as a geometer
H.S.M.Coxeter
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
| |||