Theorema Elegantissimum – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 16:
== משפט השטח של גאוס בגאומטריה היפרבולית ==
במקרה של [[גאומטריה היפרבולית]] עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה (שניתן לתאר את התנהגותה על ידי אחד המודלים של המישור ההיפרבולי), גאוס נתן הוכחה [[גאומטריה סינתטית|גאומטרית סינתטית]] למשפט גאוס בונה במכתבו ל[[יאנוש בולאי]] מ-1832, שעסק ב[[גאומטריה לא-אוקלידית]]. במקרה זה משפט גאוס בונה קובע, בנוסף על כך שגם כאשר ההיקף של משולש שואף לאינסוף השטח שלו לעולם לא יכול לעלות על ערך מסוים (כלומר יש חסם עליון לשטח של משולש), '''שהגרעון הזוויתי פרופורציונלי במדויק לשטח'''. ההוכחה הסינתטית של גאוס לטענה זאת ראויה במיוחד לציון משום שהיא ניחנה באותה פשטות מושלמת שמאפיינת הוכחות לטענות כמו האי-רציונליות של שורש 2 או קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים. במהותה ההוכחה מתבססת על הנחת ההומוגניות של המישור ההיפרבולי (עקמומיות אחידה או לחלופין חסם עליון לשטח שאינו תלוי במיקום המשולש) ועל האקסיומה הבסיסית שמחליפה את [[אקסיומת המקבילים]] (שמאפיינת את הגאומטריה ההיפרבולית). הטיעון שלו מורכב מ-7 חלקים (המחשות גאומטריות לטיעון מופיעות במאמר שהובא ברשימת המקורות):
1. שלושה ישרים, מקבילים בזוגות בכיוונים מנוגדים, יוצרים משולש אסימפטוטי ''T'' (שכל זוויותיו אפס).
| |||