משוואת קושי-אוילר – הבדלי גרסאות

'''משוואת קושי-אוילר''' (לעתיםלעיתים נקראת גם משוואת אוילר) היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]], אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואות דיפרנציאליות לינאריותליניאריות]] עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים [[אוגוסטן לואי קושי]] ו[[לאונרד אוילר]].

כאשר המקדמים <math>a_i</math> הם מספרים ממשיים, ו-<math>y(x)</math> הנה פונקציה ממשית משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא <math>n</math> אם מתקיים <math>a_n \neq 0</math>. במקרה זה, היות שמדובר במשוואה לינאריתליניארית הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים [[מרחב וקטורי]].

לעתיםלעיתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר <math>n > 0</math>, תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:

#<math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math> - אפשר להיווכח בכך ש-<math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math> הם פתרונות בלתי-תלויים למשוואה, ולכן צירוף לינאריליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי.

#<math>{x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0</math> - הפונקציה <math>y(x)=x</math> היא פתרון למשוואה, כמו גם <math>y(x)=xln(x)</math>. היות שהם בלתי-תלויים לינאריתליניארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינאריליניארי של שני אלו.

עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה

<math>\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}+({a}_{1}-1)\frac{dy}{dt}+{a}_{0}y=0</math>, אכן משוואה לינאריתליניארית עם מקדמים קבועים.

משוואת אוילר ההומוגנית שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינאריתליניארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: <math>y(t)={e}^{rt}</math>. אם נחזור למשתנה x, נקבל: <math>y(x)={x}^{r}</math>. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.

לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינאריתליניארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו. אם נחזור לדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: <math>y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}</math>.

כמו בכל משוואה לינאריתליניארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית. לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.

ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית| משוואות דיפרנציאליות לינאריותליניאריות]], נכון אנלוגית גם כאן. בצורה הכללית ביותר, אם