הבדלים בין גרסאות בדף "משוואת קושי-אוילר"

מ
בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי
מ (מיון חדש לקטגוריה:משוואות דיפרנציאליות: "קושי-אוילר" באמצעות HotCat)
מ (בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי)
'''משוואת קושי-אוילר''' (לעתיםלעיתים נקראת גם משוואת אוילר) היא [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]], אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואות דיפרנציאליות לינאריותליניאריות]] עם מקדמים קבועים. קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים [[אוגוסטן לואי קושי]] ו[[לאונרד אוילר]].
 
==הגדרה פורמלית==
<math>\sum_{i=0}^{n}{{{a}_{i}{x}^{i}}\cdot{y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0</math>
 
כאשר המקדמים <math>a_i</math> הם מספרים ממשיים, ו-<math>y(x)</math> הנה פונקציה ממשית משתנה. הסדר של המשוואה הנ"ל הוא <math>n</math> אם מתקיים <math>a_n \neq 0</math>. במקרה זה, היות שמדובר במשוואה לינאריתליניארית הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים [[מרחב וקטורי]].
 
'''משוואות אוילר הלא הומוגנית''' היא מהצורה:
כאשר המקדמים ממשיים ו-<math>f</math> היא פונקציה ממשית כלשהי.
 
לעתיםלעיתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר <math>n > 0</math>, תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:
 
<math>{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)</math>
נציג מספר משוואות אוילר.
 
#<math>{x}^{2}{y}''+2xy'-2y=0</math> - אפשר להיווכח בכך ש-<math>y(x)=\frac {1}{{x}^{2}}</math> וגם <math>y(x)=x</math> הם פתרונות בלתי-תלויים למשוואה, ולכן צירוף לינאריליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי.
#<math>{x}^{2}{y}''-x{y}'+y=0</math> - הפונקציה <math>y(x)=x</math> היא פתרון למשוואה, כמו גם <math>y(x)=xln(x)</math>. היות שהם בלתי-תלויים לינאריתליניארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינאריליניארי של שני אלו.
#<math>{x}^{2}{y}''+xy'+y=0</math> - שני הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם <math>{ y }_{ 1 }(x)=sin(ln(x)), { y }_{ 2 }(x)=cos(ln(x))</math>.
 
==מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים==
עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה
 
<math>\sum_{i=0}^{n}{{{a}_{i}}\cdot{y}^{(i)}(x)}={a}_{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=0</math>
 
אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל:
<math>\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}+({a}_{1}-1)\frac{dy}{dt}+{a}_{0}y=0</math>, אכן משוואה לינאריתליניארית עם מקדמים קבועים.
 
==שיטת פתרון המשוואה ההומוגנית==
משוואת אוילר ההומוגנית שקולה ל[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] עם מקדמים קבועים. כידוע, הפתרון של משוואה לינאריתליניארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט. לכן, גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: <math>y(t)={e}^{rt}</math>. אם נחזור למשתנה x, נקבל: <math>y(x)={x}^{r}</math>. לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.
 
לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה לינאריתליניארית. אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו. אם נחזור לדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: <math>y={x}^{r},\quad y'=r{x}^{r-1},\quad y''=r(r-1){x}^{r-2}</math>.
 
על ידי הצבה:
 
==שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית==
כמו בכל משוואה לינאריתליניארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית. לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל. שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית. במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.
 
תהי המשוואה:
<math>{x}^{n}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...{a}_{0}{y}=f(x)</math>
 
ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית. מה שנכון עבור[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית| משוואות דיפרנציאליות לינאריותליניאריות]], נכון אנלוגית גם כאן. בצורה הכללית ביותר, אם
 
<math>f(x)={x}^{a}[{c}_{11}+{c}_{12}\ln(x)...+{c}_{1p}{\ln}^{p-1}(x)]\sin(b\cdot \ln(x))+{x}^{a}[{c}_{21}+{c}_{22}\ln(x)...+{c}_{2p}{\ln}^{p-1}(x)]\cos(b\cdot \ln(x))</math>