הבינום של ניוטון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: לעיתים |
מ replaced: למרות ש ← אף על פי ש באמצעות AWB |
||
שורה 2:
[[קובץ:Binomial theorem visualisation.svg|ממוזער|300px|המחשה גרפית לארבעת המקרים הראשונים של נוסחת הבינום של ניוטון]]
ב[[מתמטיקה]], '''הבינום של [[ניוטון]]''' היא [[נוסחה]] לפיתוח [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] של [[סכום]] של שני [[איבר (מתמטיקה)|איברים]].
על פי נוסחת הבינום, ניתן לפתח את החזקה <math>\ (x+y)^n</math> לסכום הכולל ביטויים מהצורה <math>\ a\ x^b\ y^c</math>, כאשר החזקות b ו- c הן מספרים שלמים לא שליליים המקיימים b+c=n, וה[[מקדם (מתמטיקה)|מקדם]] a של כל ביטוי הוא מספר שלם חיובי ספציפי התלוי ב- b ו- c. לדוגמה:
שורה 14:
:<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n</math>
נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד, משום ש: <math>\ a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1</math>.
בנוסף, המספר [[1 (מספר)|1]] הוא [[איבר יחידה]] ביחס לכפל כך ש: <math>1\cdot x = x\cdot 1 = x</math>. כלומר, כל מספר כפול אחד שווה למספר עצמו ולכן גם מכפלה במספר כלשהו בחזקת אפס שווה למספר עצמו, כך ש: <math>a^0\cdot x = x\cdot a^0 = x</math>.
בהתאם לכך, נהוג לעיתים לכתוב בנוסחת הבינום גם <math>\binom{n}{0} x^n + \ldots</math> במקום <math>\binom{n}{0} x^n y^0 + \ldots</math>, תוך השמטת הביטוי <math>\ y^0 </math> - שהרי כל מספר שיוכפל בו יהיה שווה לעצמו.
מכאן שניתן לכתוב את נוסחת הבינום גם בדרך זו:
שורה 36:
[[קובץ:Algebra1 12 fig003.svg|ממוזער|250px|כל מספר ב[[משולש פסקל]] מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו]]
המקדמים של <math>x^{n-k}y^k</math> המופיעים בביטויים של נוסחת הבינום הם [[מספר שלם|מספרים שלמים]] חיוביים המכונה '''[[מקדמי הבינום]]'''.
לכל <math> 0 \le k \le n</math> נגדיר:
שורה 51:
:<math>{n \choose k} = \frac{n (n-1) (n-2) \cdots (n-(k-1))}{k!} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math>
ניתן לסדר את המקדמים הבינומיים כך שירכיבו יחדיו את [[משולש פסקל]]. זהו סידור של מספרים בצורת משולש, שקודקודו העליון מכיל את המספר 1 וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו, כאשר המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1.
שורה 90:
[[קובץ:(x+y)3.svg|שמאל|ממוזער|250px|דוגמה נוספת עבור <math>\ (x+y)^3</math>.]]
ראשית, נשים לב כי <math>\ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot\dots\cdot(x+y)</math>. באגף ימין מופיעים <math>\ n</math> ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל, <math>\ (x+y)^2=(x+y)\cdot(x+y)=x\cdot x+x\cdot y +y\cdot x+y\cdot y=x^2+2xy+y^2</math>, כשבוחרים את האיבר x מהסוגריים הראשונים ו-x מהשניים, x מהסוגריים הראשונים ו-y מהשניים, וכן הלאה.
מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי <math>\ x^ky^j</math> מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש <math>\ {n\choose k}</math> אפשרויות, ולכן זהו המקדם של <math>\ x^ky^{n-k}</math>.
| |||