|
לעומת זאת, יש שיכון טבעי <math>\ V \hookrightarrow V^{**}</math> אפילו ללא מכפלה פנימית: הווקטור x מתאים לפונקציונל <math>\ s_x : V^*\rightarrow F</math> המוגדר על ידי <math>\ s_x(f) = f(x)</math>. גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.
== המרחב הדואלי של מרחב בנךנורמי ==
{{ערך מורחב|פונקציונל}}
יהי <math>\ X</math> [[מרחב בנך]] מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math> או מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}</math>, שנסמן ב-F. כמו בכל מרחב וקטורי, [[פונקציונל]] <math>\ \Phi : X \to F</math> הוא פונקציה ליניארית מן המרחב אל שדה הבסיס.
את קבוצת כל הפונקציונליםה[[פונקציונל]]ים הליניאריים והחסומיםהחסומים על מרחב לינארי <math>\ X</math> מסמנים ב-<math>\ X^*</math>. זהו [[מרחב בנך ביחס ל[[נורמה אופרטורית|נורמה האופרטורית]], הקרויוהוא מכונה " '''המרחב הדואלי '''" . אם מתרחשת תופעה של [[דואליות (מתמטיקה)|דואליות]] בדמות איזומורפיזם טבעי <math> X^{**} \ cong X</math> ., אםאז <math>X </math> איזומורפימכונה למרחב"מרחב הדואלירפלקסיבי" שלו,(ובפרט הוא נקראגם '''מרחב רפלקסיבי'''בנך). כל [[מרחב הילברט]] הוא רפלקסיבי, לפי [[משפט ההצגה של ריס]]. ▼מגדירים [[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של פונקציונל כפי שמגדירים [[נורמה של אופרטור]] במרחב נורמי, באופן הבא:
: <math>\ \| \Phi \| = \sup_{x \ne 0}{\frac{ | \Phi (x) | }
{\| x \|} } = \sup_{ \| x \| \le 1}{ | \Phi (x) | }</math>
אזי תמיד מתקיים ש <math>\ | \Phi (x) | \le \| \Phi \| \cdot \| x \|</math>.
פונקציונל שהנורמה שלו סופית נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט [[רציפות|פונקציונל רציף]] לפי [[תנאי ליפשיץ]].
▲את קבוצת כל הפונקציונלים הליניאריים והחסומים על <math>\ X</math> מסמנים ב-<math>\ X^*</math>. זהו [[מרחב בנך]], הקרוי "'''המרחב הדואלי'''" של <math>\ X</math>. אם X איזומורפי למרחב הדואלי שלו, הוא נקרא '''מרחב רפלקסיבי'''. כל [[מרחב הילברט]] הוא רפלקסיבי, לפי [[משפט ההצגה של ריס]].
==הבסיס הדואלי==
| 