|
# <math>\ W</math> סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל <math>\ v \in W</math> ו-<math>\lambda \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>\lambda \cdot v \in W</math>.
[[יריעת גרסמן]] מקודדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של V.
== מבנים נוספים ==
=== המרחב הדואלי ===
לכל מרחב וקטורי V, אפשר לבנות את [[המרחב הדואלי]] שלו *V. זהו מרחב כל ה[[פונקציונל]]ים הליניאריים על V. כלומר:
: <math>\ V^* = \{ f : V \to F \ | \forall a,b \in V \ f( \mu a+ \nu b)= \mu f(a) + \nu f(b) \}</math>
באמצעות מבנה זה אפשר להגדיר על המרחב הווקטורי V מבנה של [[טופולוגיה חלשה]] (כלומר: אוסף של [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] המאפיינות תכונות לוקליות-אנליטיות של המרחב כגון [[רציפות]], סגירות ועוד).
בענף המתמטי של [[אנליזה פונקציונלית]] מרבים לחקור מבנה זה.
=== מכפלה פנימית ===
מכפלה פנימית היא פונקציה <math>\ \lang , \rang : V \times V \to \mathbb{R}</math> או <math>\ \lang , \rang : V \times V \to \mathbb{C}</math>, המתאימה לכל זוג וקטורים ב- V מספר ממשי/מרוכב, כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל השדה <math>\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{C}</math> (מרחב מסוג זה בצירוף מכפלה פנימית מכונה [[מרחב מכפלה פנימית]]). הפונקציה תקרא מכפלה פנימית אם היא מקיימת את אקסיומות המכפלה הפנימית: ליניאריות והומוגניות ברכיב הראשון, סימטריות/[[אופרטור הרמיטי|הרמיטיות]] וחיוביות (<math>\forall v \in V , \lang v , v \rang \ge 0 </math> ו <math>\ \lang v , v \rang = 0 \iff v = 0</math>).
באמצעות המכפלה הפנימית אפשר להגדיר [[נורמה (אנליזה)|נורמה]] על ידי <math>\ \| v \| = \sqrt{ \lang v , v \rang }</math> ובאופן אינטואיטיבי היא מייצגת את ה"[[אורך]]" או הגודל של הווקטור. מרחב וקטורי נורמי הוא בפרט [[מרחב מטרי|מרחב טופולוגי מטרי]] כאשר ה[[מטריקה]] המושרית מהנורמה היא <math>\ d(v,w) = \| v - w \|</math>. כמו כן אפשר בעזרת המכפלה הפנימית לחשב "[[זווית]]" בין 2 וקטורים: <math> \cos {\theta} =\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\sqrt{\left\langle u,u \right\rangle \left\langle v,v \right\rangle }}</math>. [[אי-שוויון קושי-שוורץ]] מבטיח לנו שאכן [[קוסינוס]] הזווית קטן מ-1.
== ראו גם ==
| 