איזומורפיזם – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''אִיזוֹמוֹרְפִיזְם''' הינוזה התאמה בין שני [[מבנה (מתמטיקה)|מבנים]] מתמטיים באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. במקרה שכזה, הם המבנים מכונים '''איזומורפיים'''. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים חולקים אותן תכונות, גם אם הם נקראים בשמות שונים. איזומורפיזם בין מבנים מראה שהם זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה העוסקת בהם. מקור המלה מ[[יוונית]]: "איזוס" (שווה) ו"מורפֶה" (מבנה).

באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math> וגם <math>\ f(1)=1 </math> (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים האחדזה לשנילזה.<br>

באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] שמאליים מעל חוג <math>\ R</math>, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R</math> מתקיים <math>\ f(r\alpha ) = r f(\alpha)</math> אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים האחדזה לשנילזה.

בנוסף, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים <math>\ R_A,R_B</math> איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא <math>\ g:R_A \mapsto R_B</math> וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R_A</math> מתקיים <math>\ f(r\alpha ) = g(r) f(\alpha)</math> אז <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים האחדזה לשנילזה.

אם <math>\ (V_1,E_1)</math> ו<math>\ (V_2,E_2)</math> הם שני [[תורת הגרפים|גרפים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: V_1 \mapsto V_2</math> כך שקיימת קשת ב<math>\ E_1</math> בין <math>\ v\in V_1</math> לבין <math>\ u\in V_1</math> [[אם ורק אם]] קיימת קשת ב<math>\ E_2</math> בין <math>\ f(v)\in V_2</math> לבין <math>\ f(u)\in V_2</math> אז הגרפים איזומורפיים האחדזה לשנילזה.