שלמות – הבדלי גרסאות

ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. [[קורט גדל]] הוכיח ב-1931 שבכל מערכת לוגית שהיא חזקה מספיק יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. מערכת חזקה מספיק היא, לצורך העניין, כל מערכת [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ו[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]], המבוססת על [[שפה מסדר ראשון]], שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים. מערכת כזו, הכוללת את האריתמטיקה בתוכה, היא המערכת שהציע [[ברטראנד ראסל]] לראשונה ב[[פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)|פרינקיפיה מתמטיקה]]. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית, נאותה ו[[שלמות (לוגיקה מתמטית)|שלמה]]. חוק זה נקרא [[משפט אי השלמות של גדל]], ובעקבותיו השתנה היחס של מתמטיקאים לתוכנית של [[דויד הילברט]] לבסס את כל ה[[מתמטיקה]] על [[קבוצה סופית]] של אקסיומות.

 

[[קטגוריה: לוגיקה]]

[[קטגוריה: פילוסופיה]]