תורת הקבוצות האקסיומטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:MathWorld בקישורים חיצוניים (תג) (דיון) |
הסרת קישורים עודפים |
||
שורה 1:
'''תורת הקבוצות האקסיומטית''' היא [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה מתמטית]] המהווה ניסוח [[אקסיומה|אקסיומטי]] של [[תורת הקבוצות]]. אף על פי ששימוש ב[[תורת הקבוצות הנאיבית]] עדיין רווח ב[[מתמטיקה]], תורת הקבוצות האקסיומטית היא למעשה התורה שאליה מתכוונים [[מתמטיקאי
==היסטוריה==
ב-[[1901]] הראה [[ברטראנד ראסל]], באמצעות [[הפרדוקס של ראסל]] ופרדוקסים אחרים, שמושג ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]], שפותח רק שנים ספורות קודם לכך על ידי [[גאורג קנטור]], מכיל סתירות פנימיות ([[אנטינומיה|אנטינומיות]]). אנטינומיות אלה סללו את הדרך לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. התורה פותחה בעיקר על ידי [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] והיא מתבססת על מערכת [[ריגורוזי
==האקסיומות של תורת הקבוצות==
שורה 10:
פרט לשתי המערכות הללו, ידועה גם המערכת האקסיומטית המחליפה את אקסיומת הבחירה באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת הבחירה): [[השערת הרצף|אקסיומת הרצף המוכללת]], וכן ידועה מערכת אקסיומטית אחרת המחליפה את אקסיומת הרצף המוכללת באקסיומה חזקה עוד יותר (הגוררת את אקסיומת הרצף המוכללת ואת אקסיומת היסוד): [[אקסיומת הבנייה]]. כל המערכות הללו מבוססות (בצורה זו או אחרת) על המערכת Z, והן מתאפיינות בשתי תכונות חשובות: כל אובייקט המטופל בהן - והאוסף לתוכו אובייקטים - הוא קבוצה, ושום אובייקט המטופל בהן אינו יכול לאסוף לתוכו את כל הקבוצות. בכך שונות המערכות הללו ממערכות אחרות, כגון: המערכת NBG של [[ג'ון פון נוימן]] (שמתיחדת בכך שלא כל אובייקט המטופל בה - והאוסף לתוכו אובייקטים - הוא קבוצה, כשבכך מתאפשר למערכת הזו לקיים - למשל - אובייקט שאוסף לתוכו את כל הקבוצות), והמערכות NF ו: ML שפותחו על ידי [[וילארד ואן אורמאן קוויין]] (ושמתיחדות בכך שהן מאפשרות למשל את קבוצת כל הקבוצות).
כמעט כל המערכות הידועות - להוציא את המערכת המקורית ההיסטורית Z של צרמלו - מתאפיינות בכך שכל איבר בקבוצה הוא בעצמו קבוצה. במערכות אלו, גם עצמים מתמטיים מוכּרים - כמו [[מספר
להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.
שורה 18:
# [[אקסיומת ההיקפיות]]: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
# [[אקסיומת האיחוד]]: לכל קבוצה קיים ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] שלה. כלומר, לכל קבוצה x קיימת קבוצה y אשר האיברים שלה הם בדיוק האיברים של איברי x.
# [[אקסיומת האינסוף]]: קיימת קבוצה אינסופית. פורמלית: קיימת קבוצה X, שאינה ריקה, וכך שלכל אבר Y ששייך אליה, גם הקבוצה {Y} שייכת אליה.
# [[אקסיומת ההחלפה]]: לכל קבוצה z ומיפוי, המוגדר כהצהרה P(x,y)‎ המגדירה [[פונקציה]], קיימת קבוצה שהאיברים בה הם בדיוק תמונות האיברים של הקבוצה z.
# [[אקסיומת קבוצת החזקה]]: לכל קבוצה קיימת [[קבוצת החזקה]] שלה. כלומר, לכל קבוצה x קיימת קבוצה y כך שאיברי y הם בדיוק כל [[תת קבוצה|תת הקבוצות]] של x.
שורה 25:
במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:
* [[אקסיומת ההפרדה]]: לכל קבוצה והצהרה P(x)‎ קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האיברים x בקבוצה המקורית המקיימים P(x)‎.
* [[אקסיומת הקבוצה הריקה]]: קיימת [[הקבוצה הריקה|קבוצה ללא איברים]]. קבוצה זו מסומנת {} או <math>\emptyset</math>. לחלופין - ניתן להגדיר את הקבוצה הריקה כאוסף האיברים השונים מעצמם.
* [[אקסיומת הזוג הלא סדור]]: אם x ו-y הן קבוצות, אז גם {x,y}, היא קבוצה, אשר המכילה את x ואת y בלבד.
| |||