מישור מור – הבדלי גרסאות

די להראות שלנקודת הראשית <math>\ (0,0)</math> אין סביבה קומפקטית. אם יש כזו, היא מכילה כדור מהצורה <math>\ B_r(0,r)</math> המשיק לישר הממשי בנקודת הראשית, והסגור שלו (כתת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית) הוא קומפקטי. לכן מספיק להוכיח שהקבוצה <math>\ \{(x,y): x^2+(y-r)^2\leq r\}</math> אינה קומפקטית. ואכן, קבוצה זו אפילו אינה [[קומפקטיות סדרתית|קומפקטית סדרתית]]: נקבע סדרה של נקודות על שפת הכדור המתכנסת (במובן האוקלידי, הרגיל) לנקודת הראשית. סדרה כזו אינה [[סדרה מתכנסת (טופולוגיה)|מתכנסת]] לראשית במובן של מישור מור (משום שכדורים קטנים יותר המשיקים לראשית אינם מכילים אף נקודה מן הסדרה); מאותה סיבה גם תת-סדרות שלה אינן מתכנסות לראשית. אף נקודה אחרת של הכדור אינה [[נקודת הצטברות]] של הסדרה, ולכן אין לה אף תת-סדרה מתכנסת. מכאן שהכדור הסגור אינו קומפקטי.

}}

 

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים יחידאים]]